Théorème. Soient a, à , d . h P

quantités assujetties à la condition

(9) h — M (a, a', a" . . .) , pr»

et r une autre quantité entièrement arbit^al aura toujours

NOTE II. 44o

0°) rh=zM(ra , ra, ra' . ..).

Démonstration. En effet, désignons par g la plus

''wuxsTRATiuy . n,n enei, aesigiwM» ***• # *<* r .

^nde , et par k la plus petite des quantités a, a', a ... es deux différences

Ou

*er°nt positives ; et par suite les produits r{g — h) > r(h — k) , er* d’autres termes , les deux différences r g — rh, rh — rk , >€t0nt de meme signe. On aura donc r h = M (rg , rk) ,

a plus forte raison ,

rh = M(ra, ra , ra"...),

que rg, rk sont nécessairement deux des profite. . . .

n°mb rHÉ0RÈME- Soient a, A1, a" ... H plusieurs 1 re* qui satisfassent à la condition

H=zM(A, A', A" ...),

Une quantité quelconque. On aura

tP = M(A\ A'1, A"' ...).

Tra T ion . En effet, soient G et H le plus Lçj k plus petit des nombres A , A A"

trences

446 note n.

étant alors positives, on conclura du 4** théorème (J11 les suivantes

sont de même signe. On aura donc

Hh — M (Gh , K>),

et à plus forte raison

Hh = M (A*, A'\ A "* . ..)• Corollaire. Si l’on fait en particulier ^

trouvera

Vu = A/ ( Va* ' . . . ).

10.e THÉORÈME. Désignons par A un nombre quC conque, et soient b, b' , b... h plusieurs quant' assujetties à la condition

(!}) hz=z M(b, b1, b" . . .). (r. >

On aura

(,4) At=M{A>, A», A‘" ... )• ,

Démonstration. Désignons par la plas g,an^ et par k la plus petite des quantités b, b1 , b" . ♦ • * deux différences

étant alors positives, on conclura du j.e théoren les suivantes

As — A* , A" — Ak sont de même signe. On aura donc

A'sssMfA*, A')zaM{Ar, A*, A*"---)'

1 1 •' Théorème. Soit L la caractéristique des logarithnies dans Iç système dont la base est A , et désignons par b , B* , B" . H plusieurs nombres assu -

Jettl* à la condition

" aura , quel que soit A ,

( 1 Q L(H) = M [ L{B) , L{B') , L[Én)

Démonstration. En effet, supposons que Ion ^présente par G ie plus grand , et par A le plus petit ■ s nombres B , B , B" . . . Alors , les deux fractions

^nt supérieures à l’unité, les logarithmes

’ en d autres termes, les différences

L (G) — L (//) , L {H) — L {K) r°nt (^e même signe. On aura donc ' £(//) = 3/ [L (G), L(K)]