M[L(B), L(B'), HP
y^2,C Théorème. Soient b, b', b ... plusieurs quan des ^ e 7tlènie signe , en nombre n, et a, a, a .... pre ^Uflniités quelconques en nombre égal à celui des nilcr^. On aura
1*7) «+0+0"!.. \ffa * •" >
l^°y^iTRATION. Soit g la plus grande et k la
note 1 1.
plus petite des quantités a a
Les différences
seront toutes positives. En multipliant les deux Prernlè^ par b , les deux suivantes par b' , &c. . . , on obtien les produits
g b — ci et
g b' — a et
g b" — ci' et
qui seront tous de même signe, aussi bien que les <1^ tités b, b', b" . . . Par suite, les sommes de ces espèces de produits , savoir , g Çi-t-è'-j-A”...) — (a-H*-t-a •..) , <*-+-« -i-« • • r-k{b->rl>
et les quotiens de ces sommes par b -4- b -+ savoir ,
n — A- b , a —kb‘, a" — A b",
f> 6-+ b' Li . . . ’ seront encore des quantités
b-+-b'^ri>'. . .
de même signe ; ^ 0
conclura
L'°.yez t,ans les préliminaires le i." théorème et la for-
I" CoROLLAlRE r.er En supposant les quantités b, b', * réduites à l’unité, on trouve
' ^ - = M[at a, a" . . .).
membre de la formule précédente est ce tité aPP°^e k moyenne arithmétique entre les quanat a', a" .
ï\\^0ftOLLAIRE 2‘ La moyenne entre plusieurs quanegaies se confondant avec cliacune d’elles , si les r*ctions , •
t> ’ T* » ~V • • deviennent égalés , on aura
çQ * est d ailleurs facile de prouver directement.
^ 3* Si l’°» désigne par .
^ aUra ° ^ ^uant,t®s <Iui soient toutes de même signe, en vertu de l’équation (17),
sj
Cm. = AI y-> ■■
d der •'
*S formu,e sufld pour établir le 3/ théorème
l3 « Ina»'es.
s* rfREME* Soient A> A>> A" ••• *> *’> e° Ces d e nombres pris à volonté : et formons
Xqa, X SUltes > que nous supposons renfermer
' 1 rf
note 11.
chacune un nombre n de termes , les racines B B' B"
Va, VÂ', &c---
On aura .
Il+lf+K. . ‘ ( B B‘
(zi )1^>'AA‘A"...=MWa’Va’VA
DÉMONSTRATION. Les logarithmes des qu»n««*
indiqués par la caractéristique / sont respectivement
U^HA-)*H4n^. JSf, 2Ç-, VÇ-.S?
“ reU.
et l'équation (17) f°urait entre ces HarithmeS * tion suivante .
B + B' + B" . L ye»,
Si maintenant on repasse des logarithmes ce qui est permis en vertu du theoreme .0, vera la formule (2.1).
COROLLAIRE i." En supposant les nomb B" réduits à l’unité, on a simplement
Z~ÂA‘ A"7T. = M [A , A' , A"
Le premier membre de la formule qu’on appelle la moyenne géométrique en
Corollaire a.’ Si toutes les racines
tiennent égalés, leur moyenne se confondra avec cha- ^une d’elles. On aura donc alors
\^~^JLAA'.*.
Ce qu’il serait facile de prouver directement.
La valeur numérique d’une moyenne entre plusieurs ^Uantités données n’est pas toujours une moyenne entre Urs valeurs numériques. Ainsi, par exemple, quoique """ 1 soit une quantité moyenne entre — 2 et + j ; ^Pendant l’unité n’est pas une valeur moyenne entre 2 3* Parmi les diverses manières d’obtenir une moyenne ,U,e Ies valeurs numériques de n quantités
des plus simples consiste à former d’abord la ^enne arithmétique entre les carrés
1*, extra*re ensuite la racine carrée du résultat. En opéains* , on trouvera premièrement
Puis
* n ayant égard au corollaire du 9.' théorème,
Or
>les
quantités positives
Ff
452 note iî.
/(«*), /(a"), /(«"*). *«•••• représentant précisément les valeurs numériques des qu tités données
a suit de la formule (2.4) q«’°n obtiendra une moy entre ces valeurs, si l’on divise par -/n l expression simple
Cette expression , qui surpasse la plus grande des va * numériques dont il s’agit, est ce qu’on pourrait apP ^ le module du système des quantités a, a, a • • module du système de deux quantités a et nC ‘ j0n alors autre chose que le module même de 1 exp ^ j.
imaginaire «-*-*/-■ [voyez le chapitre VH , V Quoi qu’il en soit , les expressions réelles de la tor
/(a‘ •+“ a<1 ^ a"% - \ ,oJ(ir
jouissent de propriétés très-remarquables/ Dans la
trie, elles servent à déterminer les longueurs mes ^ ligne droite , et les aires de surfaces planes , par « ^
de leurs projections orthogonales. En algèbre, nissent le sujet de plusieurs théorèmes importa”^ lesquels je me contenterai d’énoncer ceux qui *
