Théorème. Si les fractions
sont égales, la valeur numérique de chacune sera exprimée par le rapport
*n sorte qu’on aura
Stgne -i- ou le signe — devant être adopté suivant 1Ue les fractions proposées sont positives ou négatives.
Semons TR a tion. En effet , dans l’hypothèse admise es fractions
i fo i » • •
Ser°nt égales, et l’on aura en conséquence
En
k ^xtrayant les racines carrées on retrouvera ta formule
' T'héoRRME. Soient a , a , a ... des quantités Pn C°nf]Ues t en nombre n. Si ces quantités ne sont l S *°utes égales entre elles , la valeur numérique de
s°*ntne
**ra
lnférieure au produit
^ n . ^/( a1, H- a'1 -+- a . ..)j, °rte yu’on aura
(*6 ) , . HPI
^Monstration. En effet, si au carré de la somme a — f- a! -+- a" . . . .
S J frs carrés des différences entre les quantités • • • combinées deux à deux de toutes les ma-
454 note ii.
nières possibles , savoir ,
| = n («* -Ha*' 1 -*-«"* - ) :
et l’on en conclura
v . i dr,I>
En extrayant les racines carrées positives des •
membres de cette dernière formule, on obtiendra P sèment la formule (26).
Corollaire. Si l’on divise par n les deux fl*e de la formule (26) , on trouvera
(2 8) val. num. - — - <
•thinéti(ll1
Ainsi la valeur numérique de la moyenne *rI . ^ ** entre plusieurs quantités a, a , a . ... est in e rapport
qui représente, comme on l'a remarqué plus moyenne entre les valeurs numériques de c quantités. , .**'
Sc’HOUE.ir Lorsque les quantités a, * ’ g deviennent égales, on a évidemment ^ ^
val. num. (a-+- «'-4- «" • • •) = -[/nW^a, ~^a
SCIIOLIE 2/ Si dans l’équation (*7) on ^nClü^ sivenaent n = 2 , » = 3 » ^c* * * * * oïl 6
(a H- a'Y -+- (fl — fl')‘ = 2(0*-+- «'*) » (<H-a,-Hx"),+(a — v')* -\éf*r-<a'')t+(a,' fl")1 = 3 (a'+a'W1) , &c .
16.* Théorème. Soient a, d, a" , et, a , a ... d°ux suites de quantités , et supposons que chacune ces suites renferme un nombre » de tenues. St les r aPport's
ne sont pas tous égaux entre eux , la somme a et -+- a' et' -+- a" a." .. .
*era inférieure au produit
V {a*-i-a,z-ï-a"* ...) • • •) ï tn sorte quon aura
(io) f val. num. (a<L 4- a* cl' -+- a" a." . . .)
j < /(<** -+- fl'2 -ha** ...).•/(** -+ -*'* + *"* ...)• ^^MONSTRATION. En effet, si au carré de la somme
a et -+- a1 et1 -fr- a" a" . . .
a joute les numérateurs des fractions qui représentent s carrés des différences entre les rapports
^0rïlbinés entre eux de toutes les manières possibles, ^voir j
(act-A)% (ad," — ... (a'oL"— bV)‘,
Couvera
N DTK II.
ÇaotA-a'et'-jn*"*" . , .)2-»- (art'— «'«)*-+- (art" — a «)*-+-• - '
.. -t-(a'rt"— a"rt')2-t-&c... = (a2-Ha'J-H»"'*. .)(rt’ -H*' •-+-*"*.«) »
et Ton en conclura
(aa-t-« rt'-+-«"a". . .)* < («M-a . . ;) (rt*-+-rt'*H-a"* . • ■)*
En extrayant les racines carrées des deux membres cette dernière formule , on obtiendra précisément la f°r* mule (30).
Corollaire. Si l’on divise par n les deux membi'eS de la formule (30) , on trouvera
1 a et — H a' et1 — f- n" et" ....
val. nam. — — -
^ (a* a' * -h a"1 . . . ) •/ (rtI->-rt'z-4-rt"1 . .*•
Ainsi la moyenne arithmétique entre les produits *
a du y a cL , a cl y ■ » • .
a une valeur numérique inférieure au produit de d<> rapports qui représentent des moyennes entre les val<’ul> numériques des deux espèces de quantités comprises dal les deux suites
dU y dU y Oü" .....
SCHOLIE i.tr Lorsque les rapports
deviennent égaux , on tire de la formule (31)
(art-t-a'rt'-t-o"a" . . .)* = (a*-t-a'*-+ o"*. . .)
et par suite
NOfE II.
val. num. (aet -+- a' a.' -I- a" a." . . .)
= /(a* -+-«'* . .. )V(«2 -H «'* -t- et"1. . .).
® serait facile d’arriver directement au même résultat.
Scholie 2 / Si dans la formule / 5 1 ) on pose succes- *Iveuient n = 2, n = 3 , &c. . . . , on en conclura
(aac-t-a'*')1 «'«)* = («*-»-•'*) (** -*-*'*) *
îf première des équations précédentes s’accorde avec Ration (8) du cliap. VU [S- * -crJ- La seconde peut ecrire ainsi qu’il suit :
! = (a'-i-a'M-a"1) '*+-*"*) ±- {aet+a' et' -*-a" a")1 ;
s°Us cette forme elle peut être employée avec avantia ^ans Scorie ^es rayons de courbure des courbes sieC°eS SUr c^es surfaces quelconques, ainsi que dans plu- Urs questions de mécanique.
tht; °US terminerons cette note par la démonstration d’un
No,
^ °r^rne digne de remarque auquel on%e trouve conduit comparant la moyenne géométrique entre plusieurs ij )res avec leur moyennp arithmétique. Voici en quoi c°nsiste.
pl^.' Théorème. La moyenne géométrique entre +ie^Urs nombres A, B, C, D, ... est toujours inféa leur moyenne arithmétique.
4 °v S tr a TI ON. Soit n le nombre des lettres
^ent C* ^ su®ra de prouver qu’on a généra-
(J s) VabcdZ < ±t±t£±JL^-
ou , ce qui revient au même ,
