CD
A + B-hC-hD-¥-
En second lieu, si « n’est pas un terme de la prog»e géométrique
on désignera par aw un terme ‘de cette progression rieur à n, et l’on fera
puis, en revenant à la formule (57), et supposa^^r* le premier membre de cette formule les facteurs égaux à K , on trouvera
ABCD...K''-n <[-
®u> en d’autres termes ,
ÏOTE II.
A-hB+C-hD- K
ABCD ... K*m~n < K*"aura donc par suite
ABCD...<Kn ==( - - - ; ;
Ce 9U d fallait démontrer.
Corollaire. On conclut généralement de la formuIe (36) .
(38) A-*-B-*-C + D ... > nV'ABCD. ..
^UeI que soit le nombre des lettres A, B, C, D, ... . *nsi, pa» exemple, .
A -t- B > 2 VAB>
a + b + c > 3 yrsi*
Sur la Résolution numérique des Equations.
Résoudre numériquement une ou plusieurs équa tions , c’est trouver les valeurs en nombres des inconm,cS quelles renferment ; ce qui exige évidemment que ^ constantes comprises dans les équations dont il saï> soient elles-mêmes réduites en nombres. Nous nous °c cuperons seulement ici des équations qui renferment inconnue, et nous commencerons par établir à leur ega les théorèmes suivans.
l.er Théorème. Soit f ( x) une fonction rii ^ de la variable x , qui demeure* continue pftr raPP ^ à celte variable entre les limites x = x9 , x = X deux quantités /(x.) , f (X) sont de signes contrat*' on pourra satisfaire à l’équation
par une ou plusieurs valeurs réelles de x cotnp 1 entre x0 et X. ^
Démonstration. Soit x9 la plus petite des quantités x0, X. Faisons
sUpe'
et désignons par m un nombre entier quelconq
rieur à l’unité., Comme des deux quantités f {x
l’une est positive , l’autre négative , si l’on forme
et que Jans cette suite on compare successivement le Premier terme avec le second , le second avec le trois,e»ie, le troisième avec le quatrième, &c... , on finira necessairement par trouver une ou plusieurs fois deux termes consécutifs qui seront de signes contraires. Soient
jeux termes de cette espèce, xt étant la plus petite es deux valeurs correspondantes* de x. On aura évidemment
et
x9 < xf < X' < X ,
^yant déterminé x, et X‘ comme on vient de le dire, ée P°u,Ta de même , entre ces deux nouvelles valeurs (j. X> en P^cer deux autres x2, X" qui, substituées ^‘ns / ( x ) , donnent des résultats de signes contraires , qui soient propres à vérifier les conditions
xt < x2 < X" < X' ,
v^j Cont*n«ant ainsi , on obtiendra , i .* une série de Urs croissantes de x , savoir ,
(2) xa , X , Xx , &c. . .
e sérié de valeurs décroissantes
qui
We!U,paSSant Ies Prer»icres de quantités respectivement aux produits
«x(X-<0. ^x(X-xJ, ^rx(X-*.),
finiront par différer de ces premières valeurs aussi Pe“ que l’on voudra. On doit en conclure que les term ^ généraux des séries (i) et (}) convergeront vers ** limite commune. Soit o cette limite. Puisque la tion f{x) reste continue depuis x=xa jusqu’à *= les termes généraux des séries suivantes ,
convergeront également vers la limite conmuine /W et, comme en s’approchant de cette limite ils reste ^ toujours de signes contraires , il est clair que la f[a), nécessairement finie, 11e pourra différer de* Par conséquent on vérifiera 1’équation
(.) /(*)==•’ en attribuant à la variable a; la valeur particulière a prise entre x„ et X. En d autres termes ,
sera une racine de l’équation (i). j «t
SCHOLIE i.‘r Si*, après avoir poussé les séii^s (3) jusqu’aux termes
x, et X«, e„i
[ n désignant un nombre entier quelconque], ;>* la demi-somme de ces deux termes pour valeur ql>«
de la racine a , l’erreur commise sera plu* P leur demi-difiérence , savoir ,
Çpmme cette dernière expression décroît indéfiniment à Mesure que n augmente , il en résulte qu’en calculant un Nombre suffisant de termes des deux séries , on finira I*r obtenir de la racine a des valeurs aussi approchées ^Ue Ion voudra.
Scholie 2 : S’il existe entre les limites x0, X plu- Slfiurs racines réelles de l’équation (i), la méthode présente en fera connaître une partie, et quelquefois même es fournira toutes. Alors on trouvera pour x, et X' , 011 tien pour .ra et X", &c.... , plusieurs systèmes de Va,eurs qui jouiront des mêmes propriétés.
Scholie 3: Si la fonction f(x) est constamment pissante ou constamment décroissante depuis x==x, ,UsSu’à x^zX, il n’existera entre ces limites qu’une ^e valeur de x propre à vérifier l’équation (i). t , Corollaire i.tT Si l’équation ( i ) n’a pas de racines eeHes comprises entre les limites x0 , X , les deux Entités
Setont j .
oe meme signe.
l’o ^01{°LLaire ** Si dans l’énoncé du théorème i . 11 reniplace la fonction f(x) par
cis . es%nant une quantité constante] , on obtiendra pré- ^ llent 4-e théorème du chapitre II [5* 2]* ^ans ^ quêeG hyP°thèse , en suivant la méthode ci-dessus indi- ^Uaf °n ^terminera numériquement les racines de
f(x) = b x, et X.
464 note ni.
Nota. Lorsque 1 équation ( 1 ) a plusieurs racines coi»' prises entre xa et X, en calculaht les séries (2) et (?) on n’est pas toujours assuré d’obtenir la plus petite ou a plus grande des racines dont il s agit. Mais on peut river à ce but en suivant une autre méthode dont M- Le gendre a fait usage dans le Supplément à la Théo ne des nombres. Cette seconde méthode se déduit ivoX°e diatement des, deux théorèmes que je vais énoncer.
2.c Théorème. Supposons , comme dans le the° r'eme J.‘T, que la fonction /(*) reste continue dep * X = x0 jusqu à X=* X [X étant supérieur à x0 ] > désignons par ç><»), X (*) deux fonctions uuxilialfC^ , également continues dans l’intervalle dont il s ag* ^ mais de plus assujetties i.° à croître constant me avec x dans cet intervalle , 2? à fournir pour la ( tJ férence
une expression variable , qui , d’abord négative qu’on attribue à x la valeur particulière xa ,! dente * toujours égale ( au signe près) à •/(*}. Si l’épi a
(0 /(*) = 0 a une ou plusieurs racines réelles comprises en et X, les valeurs de x représentées par
(6) xof xt, xi} x}, kc.. . . ,
des f°r
et déduites les unes des autres par le moyen mules
O ! ri HC"
(7) X (■*») . <J> (*,) = X (*,) • 9- (*l) SS=, ’ y
composeront une série de quantités croissantes
*ernie general convergera vers la plus petite de ces racines. Si au contraire l équation ( i ) n'a pas de racines réelles comprises entre x0 et X, le terme général dela série (6) finira par surpasser X.
ÜÉMOXSTRATION. Admettons en premier lieu que Quation /( x) = o ait une ou plusieurs racines réelles ^°mprises entre les limites xa , X; et désignons par a !* Pjus petite de ces racines. On vérifiera I équation dont * Sagit, ou, ce qui revient au même, la suivante
(0 *AX) — xi*) — 0 >
*n Prenant x = a; et l’on aura en conséquence
De Plus, la fonction xi*) étant constamment crois- ^nte avec a; depuis xz=xa jusqu'à x = X , et a sur- 83111 XC> l’on aura encore
c°mbinant les deux dernières formules avec la pieere des équations (7), savoir.
ei1 conclura
1 Par
suite
a > xt.
: *(«) , x(a) >xi*,)> Xi*,) — *^’)’
en combinant les trois formules
*(«) = r °nt la
°n trouvera
T°ai. j.
(n\ a Seconde se déduit immédiatement de la formule On ♦-
466 note 1U-
et par suite
En continuant ainsi, on s’assurera que tous les let*T de la série (6) sont inférieurs à la racine a. J ajout# 4 ces diflerens termes composeront une suite de quan croissantes; et en effet, puisque la différence
«st négative par hypothèse pour *==*., on aura
?(*») < zC*.)1
mais X (*.)==* (*.)>, t,onc
De plus, x, étant compris entre x„ et «, aucunC & réelle de l’équation ${x) X (x) ° 110 sC * ^ni^1
renfermée entre les limites xo) X, ; et par co [ voyez le théorème i .ef , corollaire i . J
seront des quantités de même signe, c’est-à-dire > t0 deux négatives. On aura donc
et par suite [à cause de % (*.) ^
