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&c. . . . Donc enfin les quantités

note III.

XQ , ï|j X*. ) ^ C ' • • • •

formeront une série dont le terme général xn, croissant constamment avec n , sans pouvoir jamais surpasser la racine a , convergera nécessairement vers une limite égale ou inférieure à cette racine. Nommons l cette limite, domine, en vertu des équations (7), on a, quel que

soit n ,

*(*„«.,) = * (*Mh

0n en conclura, en faisant croître « indéfiniment , et Posant aux limites ,

^ quantité / sera donc elle-même une racine de l'équatl0n ( « ) ; et , puisque cette quantité sera plus grande que *•» sans être supérieure à la racine a, on aura evideiflt *üent

Admettons, en second lieu, que I équation (1 ) 11 Pas e Peines réelles comprises entre x„ et X. On prouvera ncore dans cette hypothèse, que le terme généra x„

série (6) cro|t constamment avec n, du moins

ç<^e Ce terme reste inférieur à X. En effet, tant que cett édition sera remplie, la différence

^ [théorème ..".corollaire de même signe que

<P (ar.) —

es *~^re > négative , et par suite on établira comme 5* *es formules (I &c... . De plus. * «

^ converger vers une limite fixe /inféneuie a r

puisque l’existence de cette limite entraînerait évidemment l’équation ( i 3) , et par suite l’existence d une racine réelle comprise entre x„ et X. Donc il faudra nécessairement, dans l'hypothèse admise, que la valeur de X, finisse par surpasser la limite X.

Corollaire 1." Les conditions auxquelles les fonctions auxiliaires ?(x), %(*) sont assujetties dans lenoncé du 2.' théorème, peuvent être remplies dune infinité de manières. Mais, parmi le nombre infini des valeurs que l’on peut attribuer à la fonction ?(x), 1 importe d’en choisir une qui permette de résoudre facilement les équations (7) , c’est-à-dire, en général, tou équation de la forme

<p {x) = constante.

La valeur de * (x) étant choisie, comme on vient de dire on calculera sans peine les différera termes de série (6), et il suffira de chercher la limite vers laque) ils convergent pour obtenir la plus petite des racines l’équation (1) comprises entre x„ et A. Si ces m termes finissent par surpasser X, l'équation (.) pas de racine réelle dans l'intervalle de x. a X.

Corollaire 2.' Si l’on prend

et si de plus l’équation (.) admet des racines posi»**’ les quantités x, , x„ &c. . . . seront toutes infc.i ^ la plus petite racine de cette espèce, et en fourni valeurs de plus en pins approchées. ^