Théorème. Supposons, comme dans
rime 1.” , ?«« la fonction f (x) demeure >-0
depuis jusqu'à x = .ï Cxdtantsupeneura
NOTE III. 4GJ
et désignons par »(*>. ZW deux fonctions auxiliaires également continues dans Intervalle don t d s agit, mais déplus assujetties /.' a eroUre constamment avec s dans cet intervalle, a.- a fourme pour la différence
une expression variable gui devienne positive lorsune express, on v ' ,,fa JT, el demeure
gu on attribue a x lavalcu p y. tion
toujours égale \au signe pr J - J
« „«e ou plusieurs racines réelles comprises entre x. et X, les valeurs de x représentées par
(15) X, X , X", X", fcc..;,
,< «MèL fa unes des mitres par le moyen des formules
(>«) f(jc')=x(J0’ .
compté une Ma de
Ce« racines. &i au corn terme se-
racines réelles ^Jter aualess'ous neral de la série (1 y) J1111' P
de
r Æ°i • re troisième théorème est tellement
La démonstration de ce our abréger, nous nous
semblable à celle du second, que, po t> dispenserons de la rapporter ici. .
Corollaire V** * "ombi; f'"’ ££\ '•“on peut attribuer à la foncü011 f ^ Jen choisir re*nplir les conditions exiges, d ££ * ‘
"no qui permette de résoudre fadement I
(16), c’est-à-dire, en général, toute équation de la forme (x) = constante.
La valeur de pV(x.) étant choisie comme on vient de le dire, on calculera sans peine les difïerens termes de la série (15), et il suffira de chercher la limite vers laquelle ils convergent pour obtenir la plus grande des racines de l’équation (1) comprises entre xa et X. Si ces memes termes finissent par s’abaisser au-dessous de x9 , l’équation ( 1 ) n’aura pas de racine réelle dans l’intervalle de xa à X.
Corollaire 2.' Si, l’équation (1) ayant des racines positives, X surpasse la plus grande racine de cette espèce, les quantités X' , X\ &c.... resteront toutes supérieures à cette même racine , et en fourniront des valeurs de plus en plus approchées.
SCHOLIE i.‘r Si l’équation (1) n’a qu’une seule racine réelle a comprise entre x„ et X, les termes généraux des séries (6) et (1 5) , dont la première est croissante, et I» seconde décroissante, convergeront vers une limite commune égale à cette racine. Alors , si l’on prolonge ces séries jusqu’aux termes
et JW,
puis , que l’on prenne la demi-somme de ces deux termes pour valeur approchée de la racine a, l’erreur commise sera plus petite que
SCHOLIE 2.' Pour montrer une application des prin' cipes que nous venons d’établir, considérons en p»lU culier l’équation
Ç<7) *m— AlXm-1 — A1xW1-*-. — Am ^
m désignant un nombre entier quelconque, et
A,> Ax, - Am t, Ami
dcs quotités positives ou nulles. Comme le premier uiembre de cette équation est négatif pour t=o, et Positif pour de très-grandes valeurs de x, il en résulte (fu elle a au moins .une racine positive et finie. De plus f ette même équation ne différant pas de la suivante
^nt le second membre reste invariable , tandis que le Primer décroît constamment pour des valeurs positives et croissantes de x , n’admettra évidemment qu’une seule ^cme réelle et positive. Soit a cette racine, et A le plus 8rand des nombres
A, > A>> . Am t> Am :
'«fin désignons à l'ordinaire une moyenne entre ces °uibres par la notation
