M(Ay A» ••••• A-.’ A.l
, n trrera l’équation (17), en y faisant x = a , puis égard à la formule (1 1) des préliminaires,
^ At am~l Az a™"1 -4-. . . ,-f- Am a \ A ** . . -+-«-h \)M{AV t A lt ... A„x , a )
Par suite
a-I<!ÂAL^LL<A'
Par conséquent la racine positive de I équation ( ! 7) ser* comprise entre les limites o et A-\- 1 . D’un autre côté* comme , en désignant par
Aram'r et Asam~J
le plus petit et le plus grand des termes renfermés d»ng le polynôme
A, am-' -+- am~t -4- . -4- A^t « -4 - Am,
et par n = ou < m le nombre de ceux qui diffèrent & zéro , on aura évidemment
am > n Aram~7 , am < n As am s ,
et par suite
a > (nA,)', a < (n A ,) ' ,
il est clair que la racine a sera comprise entre le petit et le plus grand des nombres
(19) nA , , (nA,)2 , (nA,)1 , , . . ( nAm)m •
Enfin, puisqu’en vertu du théorème 1 ,er [ corollaire 1 • \ le premier membre de lequation (17) restera négaü depuis x — o jusqu a x — a, et positif depuis x ^ jusqua x = 00 , il en résulte qu’on pourra choisir cïï^ core pour limite inférieure de la racine a le plus giaI1 des nombres entiers qui rendent négative l’expression
(20) xm — A'Xn-'-A1x7r~'—...-Am,x-A«>
et pour limite supérieure le plus petit de ceux qu‘
NOTE IÏI.
brident positive. Soient maintenant
les deux limites inférieure et supérieure calculées d’après l'une des règles que nous venons d’indiquer. Si l’on fait en outre
(ai) ?(x)=*m, . ,+A^x+A",
les théorèmes a.* et 3/ seront applicables à l’équation ( 1 7) ; et comme , dans cette hypothèse , chacune des équations (7) ou (16) se trouvera réduite à la forme xm = constante ,
deviendra facile de calculer les quantités comprises dans les deux séries
xa , X , , Xx, x} , &c. . . . ,
dont les termes généraux seront les valeurs approchées çu plus et en moins de la racine a.
ScHOLIE 3.' Considérons encore l’équation
(îa) xm A , xm“l -h At xm~x 4- Am l x — Am = o ,
m désignant toujours un nombre entier , et
A , , A2 y . Am , , Am
des quantités positives ou nulles , dont la plus grande s°it égale à A. En prenant ~ pour inconnue, on pourra Présenter cette équation sous la forme suivante
qui est pareille à celle de i équation (17). On en conclura que l’équation (22) admet une seule racine positive inf«' rieure au quotient
et que cette racine est comprise 'non -seulement entre I* plus petite et la plus grande des quantités
[ n = ou < m représentant le nombre des termes va* riables renfermés dans le premier membre de 1 equati^11 (22)], mais aussi entre le plus grand des nombres efl' tiers qui rendent négative l’expression
(26) xmA-At -H A2 xm~> . A- Am t x — An,
et le plus petit de ceux qui la rendent positive. Api’^s avoir fixé, d’après ces remarques, deux limites en plu* et en moins de la racine en question , il suffira , pour efl approcher davantage, d’appliquer les 2.e et 3.' th e°* rèmes à l’équation (23), en y regardant comme \ïXY connue qu’il s’agit de déterminer.
SCHOLIE 4.' Si l’équation ( 1 ) avait deux racine réelles comprises entre x0 et X , mais extrêmement i^P prochées l’une de l’autre, les termes généraux des séi'ieS (6) et (15) paraîtraient au premier abord converger la même limite , et l’on pourrait prolonger long-temps ^ deux séries avant de s’apercevoir de la différence entre 1e* limites vers lesquelles ils convergent effectivement. P*
^êrne remarque est applicable aux sériés (2) et (3). Par c°*isequent les méthodes de résolution fondées uniquement Sllr le théorème 1 .er , ou bien sur les théorèmes 2/ et 3.% j*e sont pas propres à faire connaître , dans tous les cas , e Nombre des racines réelles d’une équation numérique ;
elles fourniront toujours des valeurs ^ussi approc^ées que l’on voudra de toute racine réelle qui se trou- Vera seule comprise entre deux limites données, j, tfons le cas particulier où l’équation numérique que 0tl considère a pour premier membre une fonction réelle entière de la variable x , on peut tout-à-Ia-fois , ainsi M. Lagrange l’a fait voir, déterminer le nombre. des fitcines réelles et calculer leurs valeurs approchées. Pour joindre facilement ce but, il convient de réduire d’abord Quation proposée à n’avoir que des racines inégales , en Perant comme il suit.
Soit
Quation donnée. Désignons par a, b, c, ... ses diverses ^Clnes réelles ou imaginaires, et par ni le degré de son membre , dans lequel nous supposerons le coefliç de la plus haute puissance de x réduit à l’unité. *^n soit in le nombre des racines égales à a, m " le ^hre des racines égales h b, m‘" le nombre des racines ^es à c, &c.... On aura
m"-h m1"- 4- ... = ni
^9) F(.r) == {x — aY {x — b)m" (x — cY" . . .
H»[|Cn conciura, en désignant par z une nouvelle va-
Si maintenant on fait
(j i) F(x+j)=F(i)+ïi?,W+î‘ F,(x)-v-&c... ' et que fon-dévefoppe les expressions
suivant les puissances ascendantes de z, 1 équation deviendra
. * - 3-fL
puis, en égalant de part et d'autre les coefficiens Jc première puissance de z, on trouvera
f iW- juL-i-Jt--*-'—
( ” (x-a) (x— 6) Cx— c) . • .
Comme la formule précédente a pour dernier me'» une fraction algébrique évidemment- irréductible , >
résulte qu'il suffit de diviser le premier membre ô de l'équation (27) par le plus grand commun divise» > deux polynômes f (x) , F, (x) pour ramener cette tion à la suivante
qui n’a pies que des racines inégales.
Nous ne nous arrêterons pas à faire voir comment on P°urrait déduire des mêmes principes diverses équations font les racines, toutes inégales entre elles, seraient équi- Valentes, tantôt aux racines simples, tantôt aux racines doubles , tantôt aux racines triples, &c... de la proposée, ^ous ajouterons seulement ici quelques remarques relatives au cas où l’on suppose immédiatement toutes les ^inesde 1 équation *27) inégales entre elles. Chacun des n°mbres m', m", m"', &c.. . se réduisant alors à l’unité, tire de la formule (32)
(H) Ft(x) = (x—b) (x— c) . . .+(*-«) (x— c) . . a) {x—b)...+&c... ,
** par suite
ta)
^msi, dans l’hypothèse admise, le produit des carrés des différences entre les racines de l’équation (27) sera équi- Ment [abstraction faite du signe] au produit
Par conséquent au dernier terme de 1 équation en z que Ur‘dt l’élimination de x entre les deux suivantes
M F(*)=s O, z — Ft(x) = o;
^ sorte qu’en appelant H la valeur numérique de ce
dernier terme , on aura
‘(38) {a — b)\a — cy. ..(b — e)\.. = =*= **.
Dans la même hypothèse, les valeurs de F,(a)>
&c . données par les formules (35) n étant jaïnaI*
nulles , si l’on désigne par a une racine réelle de 1 equa tion (27) , il suffira d’attribuer au nombre et des vale^r très-petites pour que les deux quantités
» F (a- 1— ce) ==. clF, (a) -H et2 Fx(a) -+- &c. . •/
F (a — et) = - et Ft (a) H- et2 Fx (a) — &c - -
soient de signes contraires. De plus , si l’on représent ^ par x0 , X deux limites inférieure et supérieure entre equelles la seule racine réelle a se trouve comprise , en velt du théorème 1 .er [coroll. FÇX) sera de même sig1^
que F(rt-i-ct), F£r0) de même signe que F (a — -et) * par suite les deux quantités
