FM, F(X

seront de signes contraires.

Lorsque l’équation (27) n’a pas de racines égales, qu elle a été débarrassée de celles quelle pouvait ^°l{ ’ il devient facile de déterminer pour cette équation n01^ seulement deux limites entre lesquelles toutes les raci*^ réelles se trouvent renfermées , mais encore une suite ‘quantités qui, prises deux à deux, servent de limites ^ pectives aux différentes racines de cette espèce, et en les valeurs aussi approchées que l’on voudra de ces m®01 racines. Cest ce que nous allons établir , en résol? l’un après l’autre les trois problèmes suivans.

l.er Problème. Déterminer deux limites entre Ie* quelles toutes les racines réelles de l’équation

trouvent renfermées.

Solution. F(x) étant par hypothèse un polynôme réel, du degré m par rapport à x, et dans letfuel la plus haute puissance de x a pour coefficient l’unité , si l’on Résigne les coefficiens successifs des puissances inférieures Par

*t les Valeurs numériques de ces mêmes coefficiens par A, , A2, . Am t , An,

®n aura identiquement

(is)jf,:, = ,- + ,A'+v“+...+ V, + ..

( =xm-±zAlxm-1 zhAtxm~2 dz. . .dzAm,xztAm.

Soit maintenant k un nombre supérieur à la racine positive unique de l’équation (17) [3/ théor. , scholie 2 ].

polynoine (20) sera positif toutes les fois qu’on supposa x—k ou > k. Par suite, il suffira d’attribuer à x une ^Ieur numérique plus grande que le nombre k t pour la somme des valeurs numériques des termes

A,xm~l , A2x^, ... Am tx, Am

qeyienne inférieure à la valeur numérique de xm. Il en résufte que le premier membre de l’équation (27) ne P°Urra jamais s’évanouir , tant que la valeur de x sera s,ffiée hors des limites

toutes

hon (27). Se1Qnt comprises entre ces mêmes limites.

les racine* positives ou négatives de l’éoua-

SCHOLIE i y Le nombre k étant assujetti à la seule condition de surpasser la racine positive de lequatio» (.1 7) , on peut le supposer égal soit à la plus grande eS expressions (19)» soit au plus petit des nombres enti®*1 qui, substitués à la place -de x dans le polynôme (*°) ’ donnent un résultat positif.

SCHOLIE 2* On peut aisément s’assurer que le nombre k , déterminé comme on vient de le dire , est supérie ^ non-seulement aux valeurs numériques des racines rée de l’équation (27), mais encore aux modules de.toutes e racines imaginaires. En effet, soit

x = t (cos. t -4” y/— 1 sm- 0

une semblable racine. On aura en même temps les de& équations réelles

( r"*co9. mtdtz A t rm~l cos. (m— 1) t± A xrm~t | . . ztiAm^l rcos. f±z Am = 0t

et , en ajoutant la première équation multipliée Pa cos. m t à la seconde multipliée par sin. mi , on en c°n dura

r" ± A , rn~l cos. t rb At r7"-2 coi. it . . '

. dt A„, r cos. (m — 1) t rfc A„cos. mt^0'

Or il est clair qu’on ne saurait satisfaire à cette dern^f équation en supposant r>k , puisque dans cette hyP° thèse la valeur numérique de rm surpasse la somme valeurs numériques des termes

et à plus forte raison la somme des valeurs numériques Sue ces mêmes termes acquièrent lorsqu’on les multiplie par des cosinus.

SCHOLÏE j.‘ En comparant avec le polynôme (26) les premiers membres des équations (27) et (4o) , on prouverait facilement que , si l’on désigne par g un Nombre inférieur à la racine positive unique de l'équation (22), g sera une limite inférieure non - seulement *ux valeurs numériques de toutes les racines réelles de l équation (27), mais encore aux .modules de toutes les Peines imaginaires. C’est ce qui arrivera , par exemple > s* l’on prend pour g la plus petite des expressions (25), °u le plus grand des nombres entiers qui, substitués à k place de x dans le polyrtome (26), donnent un récitât négatif. Le nombre g étant déterminé comme on yient de le dire, toutes les racines. positives de l’équation (*7) se trouveront comprises entre les limites -+~ g , -4 - k ,

les racines négatives de la même équation entre les imites

S C HOUE 4' Lorsqu’on se propose seulement d’obte- **,r une limite inférieure à la plus petite des racines positlves ou supérieure à la plus grande , on peut quelquefois y parvenir en s’appuyant sur le corollaire du 1 y.L théorème [•mte précéd }. Supposons , en effet , que tous les termes polynôme F (x), à l’exception d’un seul, soien^de ^ême signe. L’équation (27) prendra la forme suivante

(4,) Um-f

( . . A x -i- A = A ,xm~s .

Sh’ m~ m

11 niaitenant n le nombre des termes qui dans le pre-

TOM. I. H h

mier membre de l’équation (43) ne se réduisent pas *

zéro, et

Bx*

la moyenne géométrique entre ces termes , B désignai la moyenne, géométrique entre leurs coefficiens. En vert11 du corollaire du théorème 1 7 [note II] , toute valeur réeli* et positive de x propre à vérifier l’équation proposée, oüf ce qui revient au même , à lui servir de racine , satisfe*11 nécessairement à la condition

As > n B xp ,

et par conséquent à l’une des deux suivantes,

savoir, à la première, si m-s surpasse ft, et à la coude, dans le cas contraire. Il est bon d’observer quf' si le nombre s s’évanouit, As se réduira au coefficient & xn , c’est-à-dire , à l’unité.

SCHOLIE y' Il est encore facile d’obtenir deux limité' l’une inférieure, l’autre supérieure aux racines positif de l’équation (27), par la méthode que je vais indiqué On observera d’abord que toute équation dont le prern^ membre n’offre qu’une variation de signe, c’est-à-dire > toute équation qui se présente sous la forme

A0xm-t -Alxn-'-+-...—Anxm-n—AL+lXm~'-1 — Stc.... ***' ou sous la suivante

^Aaxm— Atxm-,—...-+-AHxm-n-*-A„+,xm-n-1 -+-&c.. . . ** 01 [ A m, At, ... A y A;^t , &c.... désignant des nombr^

les remarques prêce'dentes , que toute valeur propre à vérifier Tequation (27) cfoit être à la plus grande des racines positives des

484 note in.

bc .

Quelquefois les deux conditions qu’on vient d’énoncer s’excluent mutuellement ; et alors on peut affirmer que

i’équftb<m {27) n a Pas rac*nfcs

2.' PROBLÈME. Trouver le nombre des racines réelles de t équation (27), avec une suite de (junte tîtés qui , prises deux à deux , servent de limites <*

ces mêmes racines.

SOLUTION . Nous supposerons l’équation (27) re duite à 11 avoir que des racines inégales. Alors, si l‘>» désigne par h [voy. le problème précédent ] une limite supérieure aux valeurs numériques de toutes -les racine réelles, par h un nombre moindre que La plus petite di férënce entre ces racines , enfin par kt , K , ••• K alltre* nombres tellement choisis que dans là suite

la différence entre un terme et celui qui le précède so'1 toujours une quantité positive égale ou inférieure * » » il est clair que deux termes consécutif de la suite (4^ ne comprendront jamais entre eux plus d'une «cil réelle. D'ailleurs, lorsqu'on substitue à la place de * » le polynôme F(x) deux quantités entre lesquelles *>' seule racine réelle au plus se trouve renfermée , résultats obtenus sont de même signe ou de sig^ contraires; pour parler autrement, la comparaison e ^ deux résultats offre une permanence de signe , ou variation de signe , suivant qu'il n'existe pas de rat' réelle , ou qu’il en existe une entre les deux quan

NOTE II r. 4s&

^ont il s’agit. Par conséquent , si l’on prend les termes de la juitc (46) pour des valeurs successives de la variable x , et que l’on forme la suite des valeurs correspondantes du polynôme F(x) , cette nouvelle suite offrira précisément autant de variations de signe que l’équation (27) a de racines réelles , et chacune de ces racines sera comprise entre deux valeurs consécutives de x qui, .substituées dans F{x) , donnent des résultats de signes contraires. Ainsi toute la difficulté consiste à trouver pour le nombre h une valeur convenable. On y parvient de la Manière suivante.

Désignons par II la valeur numérique du dernier terme de l’équation en z que fournit l’élimination de x entre les formules (37). Le nombre //, ainsi qu’on l’a déjà remarqué, sera équivalent [abstraction Lite du signe] au produit des carrés des .différences entre les racines

féelles ou imaginaires de l’équation (27). Par suite H * S(*a équivalent au produit des modules de ces différences [le module de chaque différence réelle n’étant autre çhçse 9ue sa valeur numérique]. Cela posé, soient a, l deux Peines distinctes dé f équation (27). Si ces deux racines sont réelles, chacune d’elles ayant alors une valeur numérifiue inférieure à k, la valeur numérique de leur différcnce, c’est-à-dire, la différence ou la somme de leurs Vî)Icurs numériques ne surpassera jamais 2 k. Si au contre chacune de ces racines ou l’une d’elles seulement j^Went imaginaire, on pourra, en désignant par i\ , r, eUfs modules, et par tl} l2 deux arcs réels, supposer

( l = 1\ (cos. tv H- \/—i «in. t*'ft

b ==z rt (fiO sr tx i/—i »in. tx ) ;

486 note nr.

a — b = r^eos.i, — r1co».tt -ï-(rt9in.tt — /*-* f

mod. (a— b) s= [(r^cos./, — r^cos.^)1 -f- (r, sin.f, — rjSin.fJ*] 1 = t»-,1— 7 <{r, 1 '■

On aura donc

mod. ( a — b) < r, -f- r, ;

et par suite

(47) mod. {a — ô) < 2k,

pourvu que le nombre k ait été choisi , comme dans premier problème , de manière à surpasser non-seulement les valeurs numériques de toutes les racines réelles , mais encore les modules de toutes les racines imaginaires. Oit prouvera de même que chacune des différences

a pour module un nombre inférieur à 2k; et Ton en conclura que , si , après avoir formé tous les modules de cette espèce en nombre égal à on met de côté

l’un d entre eux, par exemple , le module de la différence a- b , lé produit de tous les autres sera un nombre in' férieur à l’expression

le module plus grand

que le produit des modules de toutes les différences#

c’est-à-dire, un résultat plus grand que H x . En d’autre5 termes , on aura .

wfm-') ^ 1

(2 k) * x mod. (a — ô) > // * ; ou , ce qui revient au même ,

Donc , si l’on multiplie cette expression par de la différence a— b, on trouvera un résultat

NOTE m.

(48) mod. (a — b) > - - 77 *

Lorsque les racines a et b sont réelles , le module de U différence a -b se réduit à sa valeur numérique. Par conséquent on obtiendra un nombre h inférieur à la plus petite différence entre les racines réelles de l’équation (27), si Ion pose

Scholfe /." II serait facile de prouver que , si cha- «un des nombres Aiy Aiy ... Am [ i.« problème] est entier, le nombre H le sera également. Par suite, dans eette hypothèse, le nombre H , qui ne peut s’évanouir fant que les racines de l’équation (27) restent inégales entre elles, aura une valeur égale ou supérieure à l’unité. Cela posé, la formule (48) donnera

(50) mod. {a — b) > - J— - .

et l’on en conclura que , pour obtenir un nombre h infér,eur à la plus petite différence entre les racines , il suffit prendre

SCHOLIÊ 2 / Soit

^quation en z que fournit l’élimination de x‘ entre les émules (37). Si, par la méthode ci-dessus indiquée [ '•" problème, scholie 3 ], on détermine une limite G crieure aux modules de toutes les racines réefles ou

488 NOTE ut.

imaginaires de l’équation (52), on aura, en désignait toujours par a, b, ... les racines de 1 équation (2.7)’

mod. Ft (a) > G ,

ou, ce qui revient au même [ voy. les équations (35)]» mod. ( a — b) (a — c) . . , > G.

On en conclura

mod. {a — h) > w. ®e) . J

et par suite

(53) mod. (a— b) >

puisque les différences

qui renferment la racine a combinée successivement ave* toutes le*s autres , sont au nombre de m - 1 , ou , si 1 ofl met de côté la différence a— b, au nombre de m — *1 Cela posé, il est clair que le nombre h satisfera encor* aux conditions requises, si l’on prend , G

ScilOLIE 3.' Après avoir déterminé h par l’une dei méthodes précédentes, on pourra choisir pour la suite nombres

kt) .... kn

une progression arithmétique décroissante dont la diH* rence soit égale ou inférieure a h , en se bornant tout fois aux termes de cette progression qui restent comp1' entre les limites o , k. De plus , si 1 on désigne par 6 [voyez le 1 .er problème , scholie 3 ] une limite inférieUi aux valeurs numériques de toutes les racines réelles

^équation (2^) , on pourra évidemment dans la suite (46) supprimer tous les termes positifs ou négatifs dont *es valeurs numériques seront plus petites que g, en écrivant à la place les deux seuls termes

La suite (46) étant modifiée ‘comme on vient de le dire on substituera successivement dans le polynôme F(x)t * .° les termes négatifs de cette suite depuis — k jusqua ~-g, 2 * les termes positifs depuis -h g- jusqua -J-/t ■ ot toutes les fois que deux termes consécutifs de la première ou de la seconde espèce fourniront des résultats de signes contraires, on sera certain qu’une racine réelle négative dans le premier cas, positive dans le second, est ^enfermée entre ces deux termes.

Scholie 4.' Lorsque par un moyen quelconque on a déterminé , pour 1 équation (27) , une valeur approchée en plus ou en moins de la racine réelle a , on peut ^ns un grand nombre de cas obtenir de la même racine une valeur approchée en sens contraire, ét fixer deux limites, l’une plus grande que les racines réelles mférieures à a , l’autre plus petite que les racines réelles Supérieures, en s’appuyant sur la proposition que je vais foncer.

Représentons à V ordinaire par

f», F Si r), f»,

U(lns le développement de F(x-\-z) ; par a, b, c ,

Cs diverses racines de V équation (27) } et par k un Nombre supérieur à leurs modules. Supposons en outre (lHe, la quantité £ étant une valeur approchée de la rUcine réelle a, la différence a — %, ci la quantité a

490 NOTÉ ÏIT.

déterminée par V équation

soient assez petites [abstraction faite des signes] pouf que dans le polynôme

(5 6) ^ C^)h-4^«)5>VC|)-»- &c. . • •

la valeur numérique du premier terme surpasse /<* somme des valeurs numériques de tous les autres . Enfin désignons par G un nombre inférieur à texc'es de la première valeur numérique sur la somme dont il S'agit. On sera certain , f.° que la racine réelle a se trouve seule comprise entre les limites

2.* que la différence a — b ou b — a entre la Yacine * et une nouvelle racine réelle b ne peut surpasser

Pour démontrer la proposition précédente , nous ob* serverons d’abord que dans l’hypothèse admise , le poty' nome (5 6) étant de même signe que son premier terme# on pourra en dire autant à fortiori des deux polynom®5

qu’on obtient en développant les fractions

*(!-»«) F(t-j-lCL) et * et 1

suivant les puissances ascendantes de OU, et ayant ég*r^ à l’équation ( 5 ç ). Par suite , les premiers termes d?s deux polynômes étant de signes contraires , il en sera d9

•ftéme des deux fractions, et de leurs numérateurs

F(S+- '2*)/ ^(f-4-ao t).

J1 y aura donc au moins une racine réelle de l’équation (27) entre les limites

2Ct, É-+-2*.

J ajoute qu’il n’y en aura qu’une ; et en effet, il est facile ^ voir que , si plusieurs racines réelles étaient renfermes entre ces limites, en désignant par a et b deux Se«iblables racines prises à la suite l’une de l’autre , on trouverait pour les valeurs des expressions

^eux quantités de signes contraires. Par conséquent ï’é« dation

aurait une racine réelle comprise entre a et b , laquelle ,efait de la forme

k Quantité s étant renfermée entre les limites — s 2 tt , ^ 2 et. Or, c’est ce qu’on ne peut admettre. Car, si j,0*1 remplace dans la formule (31)3 par , et que développe le premier membre de cette formule ainsi °difiée suivant les puissances ascendantes de y f on en l,rera

^(* + *)+ÿf,(x-+-l) + &C .

*s, en égalant de part et d autre les coefliciens de la Minière puissance de y ,

Ft (x+f) *

F, (x)-hi *Fx{x)+i*x F3 {*).-♦- 4*3 Par suite, le développement de

deviendra

(6î) ; et, comme dans le polynôme (5 6) la valeur numérique du premier terme surpasse la somme des valeurs numérique de tous les autres , il en sera de même à fortiori du P0' lynome (62), tant que la Videur numérique de z ser* supposée inférieure à celle de 2 et. Il en résulte quÇ ' dans cette hypothèse , l’expression ( 6 1 ) ne saurait s e vanouir. Donc l’équation (59} 111 31 Pas rac*nes Tee^e comprises entre les limites £ — 2cL ,, £-\- 2ct ; et l équa tion (27) n’en a qu’une entre ces limites. La racine do»*1 il s’agit est nécessairement celle qui s’approche le plllS de la quantité | , et que nous avons désignée par D autre part, comme la fraction

équivalente au second des deux polynômes ( ^8), cst de même signe que le premier tenue de ce poIyuo»ie' savoir ,

on doit en conclure que

F(Ç) et F(Ç-4-2*)

sont deux quantités de signes contraires , et que la racin* a se trouve resserrée entre les deux limites

NOTE Itï. 403

Quant à la seconde partie de la proposition ci-dessus énoncée, elle est une conséquence immédiate du scholie 2.c, puisque la quantité G restera évidemment inférieure [ abstraction faite du signe ] au polynôme (6 2) , c’est-à-dire, au développement de F, (|-Hz ) , tant que la valeur numérique de s ne surpassera pas celle de 2 et, et par conséquent inférieure à la quantité F, (a) qu’on déduit çle "H z)> en Posant

II suit d’ailleurs de cette seconde partie que les racines réelles plus grandes que a sont toutes supérieures à la limite

(53) a -H -jjjÿrzr »

et les racines réelles plus petites que a inférieures à la limite

3.e Problème. Trouver les valeurs aussi approchées que l’oit voudra des racines réelles de l’équation (27).

SOLUTION. On commencera par déterminer, à l’aide du problème précédent , deux limites , Tune en plus et loutre en moins, de chaque racine réelle et positive. Supposons en particulier que la racine a soit de cette espèce , et désignons par x0 , X les deux limites inférieure et supérieure à cette racine. Si I on forme deux sommes différentes , la première avec les termes positifs du polynôme F(x), la seconde avec les termes négatifs pris en signe Contraire, celle qui sera la plus petite pour x = xQ dépendra la plus grande pour x = X. Représentez cette somme par <p (x) et l’autre par ^(x). Les deux fonctions