N O TR III

entières ?(*), x(x) jouiront des propriétés énonce# dans les 2* et 3/ théorèmes ; et par suite, si la fonction p(x) est telle qu’on puisse facilement résoudre les équ>' tions de la forme

p ( x ) = constante ,

les formules (7) et (16) fourniront immédiatement d# valeurs de plus en plus approchées de la racine a. ce qui arrivera, par exemple, toutes les fois que la fonc' tion p(x) se présentera sous la forme

B , C, D étant trois nombres entiers quelconques , ct n un nombre entier égal ou inférieur à m; puisqu’alors on obtiendra les termes successifs des séries (6) et (i ÿ) Paf des extractions de racines du degré n. Si la fonction n’est pas de. la forme que nous venons d’indiquer, °n pourra facilement l’y ramener, en ajoutant aux deu* membres de l’équation

un polynôme entier 4M dont tous les termes soient p0' sitifs. En effet, il est clair que les valeurs de p{x) et àfi x(x), modifiées par l’addition d’un semblable polynoœe' conserveront toujours les mêmes propriétés» On peut, »u reste, attribuer au polynôme 4M une infinité de valeur* différentes. Supposons , par exemple ,

La valeur de p(x), modifiée par l’addition du polynom6 i(x), deviendra

si l’on suppose

ou bien

si ion suppose

4 (*) = -$xx -H 12^:;

&c. . . . Il est bon de remarquer à ce sujet , i .° qu’on peut toujours choisir la fonction entière 4(ar) de maniéré à obtenir l’unité pour le nombre B, 2 * que dans beaucoup de cas, l’un des nombres C, D se trouvera réduit à zéro.

Après avoir déterminé par la méthode précédente les tacines réelles et positives de 1 équation (27), il suffira évidemment pour obtenir ses racines négatives de chercher par la même méthode les racines positives de 1 équation

SCHOLIE. Outre la méthode d’approximation que nous venons d’indiquer , il en existe plusieurs autres , parmi lesquelles on doit remarquer celle de Newton. Elle suppose que l’on connaît déjà une valeur approchée | de la racine que l’on cherche , et consiste a prendre pour correction de cette valeur la quantité et déterminée par léquation

, ■ v w — IA L

Toutefois , cette dernière méthode n’étant pas toujours applicable , il importe d’examiner dans quels cas on peut l’employer. Nous allons établir à ce sujet les proposition! Vivantes.

4.e Théorème. Supposons que , a désignant l’une <fa elconque des racines réelles positives ou négatives <le léquation (27) , et f une valeur approchée de

cette racine , on détermine a parle moyen de V équ aU011 (55). Si a. est assez petit [abstraction faite du sig>ie J pour que dans le polynôme (56) la valeur numérique du premier terme surpasse la somme des valeurs nutn^ riques de tous les autres , alors des deux quantités

la seconde sera plus approchée de a que la premier Démonstration. Nous avons déjà vu [i.e probl » scholie 4 } que , dans l’hypothèse admise , la racine a se trouve seule renfermée entre les limites

Cela posé, si l’on prend

z sera une quantité comprise entre les limites o, 2<t, e} propre à vérifier l’équation

ou , ce qui revient au même , la suivante ,

(67) F(^-»-sF,(|) + sIei(Ç-4-&c... = o.

Si maintenant on fait pour plus de commodité

F, (£ï + -Ft{S).-*-&c.

1— Fa?)

et que l’on ait égard à la formule (55), lcquatiort deviendra

(69) z = a -+- qz%.

On aura par suite

(70) « = ? -W = f -hct-j-çs* ;

d’où il résulte qu’en prenant £ et au lieu de ? p°ul

N 0 T K llî. 497

Valeur approchée de a, on commettra une erreur égaie non plus à la valeur numérique de z, mais à celle de qzz. D'ailleurs, le polynôme (j 6) étant de même signe que son premier terme les deux polynômes

• j = (.—4 a.q).Ft($,

jouiront évidemment de la même propriété ; ce qui exige que la valeur numérique de 2cLq, et à fortiori celle de 93, restent inférieures k 7. On en conclura immédiatement que la valeur numérique de q z1 est inférieure à celle de '-z. Ainsi des deux erreurs que l’on commet en prenant

? et {‘-fi

pour valeurs approchées de a , la seconde est plus petite que la moitié de la première.

SCHOLIE /." Comme on tire de l’équation (69)

et que la valeur numérique de qz est inférieure à ~ t on est assuré que la valeur de 3 restera toujours comprise entre les limites

ScilOLlK 2.' En résolvant l’équation (69) comme si la valeur de q était connue , on trouve

Le radical •/ , —4 *q est ici affecté d’un double signe. Mais , puisque la valeur de z doit rester plus petite que celle de zdu> il est clair qu’on devra préférer le signe ^férieur. On aura donc