TOM
XOTR III.
(72) « -Ht- y i —
Cela posé, si l’on nomme q0, Q, deux limites dont Une soit inférieure et f autre supérieure à la quantité q déterminée par la formule (68), on conclura de lequation (72), que la valeur exacte de z est comprise entre ei deux expressions
î et ■ ■ 1 tt :
(73) 1 y ’ i-Hy i — W
Par conséquent cette valeur renfermera tous les chiffra décimaux communs aux deux expressions réduites en nombres.
ScHOLIE 3/ Supposons que des deux quantités q„, la seconde ait la plus grande valeur numérique , et cette valeur numérique soit inférieure à l’unité. Alors, & la différence a — Ç = s est [ abstraction faite du signe J plus petite qu’une unité décimale de l’ordre n , c est-à-diif ’ si l’on a
(74) val num ' 3 < ( 7Ô ) ’
la différence
sera plus petite [abstraction faite du signe] quune uni»* décimale de l’ordre m; en sorte qu'on trouvera
(70 vaL- num • q s‘ < (tt) .
Ainsi, en prenant {-h* au lieu de f pour valeur app‘<>' chée de la racine a , on doublera le nombre des décima^
exactes. r u*
Si l’on supposait la valeur numérique de Q mfenei non-seulement à l’unité , mais encore à o , 1 , on con* rait de la formule (74)
val. num. qzx< ^1Q ^
Plus généralement , si l’on suppose cette valeur numé- I rique inférieure à > r désignant un nombre entier
quelconque, la formule (74) entraînera la suivante.,
(76) val. num. qzx < j
Enfin, si la valeur de Q est supérieure à l’unité, mais inférieure à (io)r, on trouvera
(77) val num. qzx < \
SCHOLIE 4.' L’erreur que l’on commet en prenant |-+-oL pour valeur approchée de a , ou la valeur numérique du produit qzx peut elle -même se calculer par approximation. En effet, si l’on a égard à l’équation (69),
qzx == q(eL-\-qz*y = qcLx -f- (2 <t)ÿ* zx q> z*. Or, supposons la valeur numérique de 2*, par conséquent celle de z , inférieure à (-^7) , et la valeur numérique de 0 , par conséquent celle de q , inférieure à (io)qpr ; n et r désignant deux nombres entiers. On aura évidemment
val. num. )’ ^
et
val. num. q1 zf < .
plus, si la, valeur numérique de la fraction
50(i NOTK IM.
f st reconnue inferieure à Çi o )T ' , • désignant eneu' un nombré entier , on pourra prendre
pour valeur approchée du terme qx' , sans craindre une erreur plus considérable que
ur-
. . y i ^ on lieu
Par suite , si l’on choisit ç-f-ct cl F »
de Ç-Ht, pour valeur approchée de la racine a, cest-
à-dire , si l’on pose
, *Mjp
(79) « = !-»-* — “- TilT ’
l'erreur commise sur la racine naflécten, plus que le* unités décimales de l’ordre marqué par le plus grand d< trois nombres
Dans le cas particulier où la valeur numérique de Q est inférieure a {-) , « celle de la fraction W » ^l y la nouvelle erreur devient plus petite que
' ter-
Il suffit donc alors de substituer le second membre « ,’équation (79) à la quantité ? pour tnpler te nomb des chiffres décimaux exacts dans la valeur approchée de a. C’est ce qui arrive encore , a très-peu près, quant nombre n devient très -considérable. Ces résultats so conformes à ceux que M. KichoUon a obtenus dans « ouvrage récemment publié à Londres , et qju a pour titre Essay on involution and évolution , &c.
5.* THÉORÈME. Les memes choses étant posées que dans le théorème précédent , concevons que le premier terme du polynôme (£6), c'est-à-dire , du polynôme qui représente le développement de Ft (£ -H 2«0 , ait une valeur numérique supérieure non-seulement à la somme des valeurs numériques de tous les autres termes , mais encore au double de cette somme. Alors t si l'on désigne par une quantité comprise entre les limites
la seconde des deux quantités
sera plus approchée de a que la première .
Démonstration . Pour établir la proposition qu’on vient dénoncer, il suffit de faire voir que la valeur numérique de la différence
est supérieure à celle de
ou , ce qui revient au même , que la fraction
IJÎTU
a une valeur numérique inférieure à l’unité. Représentons par cette même fraction* Il suffira de prouver que
v — — u et v 4- m , lv ryi' -V* h,r’ 11
c‘est-k-dire, en d’autres ternies >
Tf OTE IIÎ.
■F-w-nu
et
sont deux «pressions de même signe. Or , si 1 on fait
(«,) * — ?-+■* et +
2 et C seront deux quantités de même signe comprise* entre les limites o, 2 et ; et les expressions (80), âpre» le développement des fonctions
deviendront respectivement
F, (V + (*-+- F> <8 ■+• (** -4- C* O F, CE j ■ -*- ■ . *
f, (|} __ (c-h^of.cE) — (C'-i-cw— <c*) fjCE) - &c-
Comme , dans chacun de ces derniers polynômes , le coefficient de F„(f) a une valeur numérique évidem' ment inférieure à celle de l’une des quantités
nz*~' y 2 n C"”* ,
et par conséquent au double de la valeur numéiique d produit
il est clair qu’ils seront l’un et l’autre de même signe ^ F (J), si la condition énoncée dans le 5/ théorème s
trouve remplit. Donc , &c - ^
ScHOLJE i.‘r Les erreurs commises lorsqu on prCl1 successivement
pour Valeurs approchées de la racine a, sont respectif ment égales aux valeurs numériques des deux quantité^
F\hl
NOTE Ut. 503
On trouvera d’ailleurs , en ayant égard aux formules (8 1 ),
FW-F(t)
m-HJ)-F(EH-g) .
puis , en développant les fonctions
F({-t-z), F(j4-C), F,(|-hC),
2gg-»-3gJ)F4(^«tc^
Cela posé , concevons que , pour toutes les valeurs de C et de z comprises entre o et 2 et, la valeur numérique du polynôme
( 84) F% (g) Cm -iC) F,® (*x-4-i£*-+- 3 P) F* &*• . . .
reste inférieure à la limite M , et celle du polynôme (8 j) F, (f ) -t- 2 CF , (f ) H- 3C* F, (?) -1- «ce. . . .
supérieure à la limite N. Si 1 on a
(86) val. nüm. (z — C) < (— ) et
n et r désignant deux nombres entiers quelconqnes , on conclura de l’équation (83),
(f (£,) \ f \ \in*rr
«—?.■+*• FirçT ) < w
t . üLl-
Il est essentiel de remarquer que , pour obtenir des valeurs convenables de M et de N , il suffit, i .c de rem placer dans le polynôme (84) 3 eî £ Par 2 et, puis de calculer la somme des valeurs numériques de tous les termes, 2.0 de remplacer dans le polynôme (85) £ Pal 2ot , et de chercher ensuite la différence entre la valeur numérique du premier terme , et la somme des valeun» numériques de tous les autres.
SCHOLIE 2.' Les mêmes choses étant posées que dans le 5 .* théorème , si l’on fait successivement
