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F (fr)
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les quantités (t, % , ? &c... seront des valeurs de plu*
en plus approchées de la racine a. Si d’ailleurs on attribue aux nombres M et N les mêmes valeurs que dans le scholie i.cr, alors, en supposant
val. num.
on en conclura
val. num.
val. num.
val. num.
Ces dernières formules renferment la proposition énon* cée par 'Sl. f owriev dans le Bulletin cle la Société plû' jomatique ( livraison de mai' 1818), relativement »u
nombre de décimales exactes que fournit à chaque opération nouvelle la méthode de Newton.
Toutes les fois que la fraction -jj- est inférieure a l’unité, on peut prendre r=o, et par suite les différences successives entre la racine a et ses valeuis ap prochées
sont respectivement plus petites que les nombres
Donc alors le nombre des décimales exactes se trouve doublé pour le moins à chaque opération nouvelle.
Les recherches précédentes fournissent plusieurs méthodes de résolution pour les équations numériques. Afin de faire mieux sentir les avantages que présentent ces méthodes , je vais les appliquer aux deux équations
et
que Lagrange a choisies pour exemples [ Résolution des équations numériques, chap. IV], et dont la première a été plus anciennement traitée par Newton.
Si nous considérons d’abord l'équation (90); noüs trouverons [ 3.' théorème , scholie a], quelle a une seule racine positive comprise entre les deux limites
l/TTî — i et |/>-J — 5 • • • •
De. plus, la valeur positive de x propre à vérifier l’équatien
2X -+• 5 = xl
satisfera [ i .*r problème , schoiie 4 ] à la condition
ou , ce qui revient au même , à la suivante , x > (4o)T = 2,09....
La racine dont il s’agit sera donc renfermée entre Ie5 nombres 2,09 et 2,15 ... ; en sorte que sa valeur approchée à moins d’un dixième près sera 2, 1 . Pour ob tenir une valeur plus exacte, nous observerons quon a dans le cas présent
F (x) = x3 — 1 x — 5 , Fx (x) = 3 j?1 — 2 , F t GO = 5 * > ’
et que, si l’on prend
la condition énoncée dans le 4-' théorème sera rempli Cela posé, comme on tirera de lequation (55)
cl = — 7" = — o, 00 5 43 1 878... ;
on trouvera pour les nouvelles valeurs approchées de l i*1 connue x
et
Enfin , comme, la valeur exacte de x étant présentée soi* la forme :r=£-+-z, z sera une quantité comprise entre 1<* limites o, 2 et , et que par suite on aura évidemment
. cè
val. num. z = val. num. (<l -4- qz‘)
< val. num. <L 4- (2 *0* val. num. q < 0,01 ,
on en conclura [ 4*e théorème , scholies 3 et 4 ] qu en j prenant
on commet une erreur plus petite que o, 000 1 , et en prenant
une erreur plus petite que 0,000001.
Au lieu d’employer les formules générales, on pourrait effectuer le calcul de la manière suivante. Après avoir trouvé 2 , 1 pour la valeur approchée de 1 , on fera dans l'équation (90)
et l’on en tirera , en divisant tous les termes par le coefficient de z ,
