o,o89o47*95-*-aî

ou , ce qui revient au même ,

la valeur de q étant déterminée par la formulé

Le double du premier terme de 1 équation (92) est à très-peu près 0,01 ; et, comme le premier membre de cette équation fournit deux résultats de signes contraires, lorsqu’on y fait successivement

on peut affirmer quelle a une racine réelle comprise entre les limites o et — o,o i . Pour démontrer que cette racine est unique , il suffit d’observer qu’en vertu de la formule (6o) l’équation

se réduit à

i -1-2x0,560997 3 2 8. ..2-+- 3 xo, 089047 «95 ... 2a=o>

et que cette dernière ne saurait être vérifiée par aucune valeur de z renfermée entre les limites dont il s’agit. Ve plus, il est clair que, pour une semblable valeur de 3> la quantité q déterminée par la formule (94) reste comprise entre — 0,560 et — 0,561 ; et, comme on tire de l’équation (93)

on en conclura, 1 ." en supposant — 9 = 0,560 3 = — 0,00544850....’,

2* en supposant — q = o, 5 6 1

Par suite , la valeur réelle et positive de x propre à vérifier l’équation (90) sera comprise entre les limites

2, 1 — 0,005448 50 = 2,0945 5*5° et

Cette équation a donc une racine positive unique à trèspeu près égale à

î,o945ji{.

ÏI est d’ailledvs facile de s’assurer quelle n’a point de racines négatives. Car, si elle en avait une seule, on pourrait satisfaire par une valeur positive de # à la formule

et cette valeur de x [voyez le scholie 5 du 1 .cr problème] serait en même temps inférieure à la racine positive de l’équation

c’est-à-dire , à

et supérieure à la racine de l’équation

c’est-à-dire , à

ce qui est absurde.

Passons maintenant à l’équation ( 9 * ) > et cherchons en premier lieu ses racines positives. Pour avoir une limite Supérieure aux racines de cette- espèce , il suffira dobseiver que, l’équation dont il s’agit pouvant se mettre sous la forme

on en tire [ i.er problème, scholie 4], en supposant x positif ,

et par suite

On peut donc prendre j pour une valeur approch

la plus grande racine positive. Cela posé, si l’on fait dans l’équation. (9 1 )

on trouvera

ou , ce qui revient au même ,

(98) z = — 0,05 -\-qzxx

la valeur de 9 étant déterminée par la formule

Le double du premier terme de l’équation (97) est 0,1 » et , comme le premier membre de cette équation change de signe lorsqu’on passe de z=o à 2 = — 0,1, tandis que le polynôme

. +2«,4oî+3X^s‘

reste constamment positif dans cet intervalle , il en résulta qu’elle a une racine réelle , mais une seule , comprit entre les limites o et — 0,1. La valeur correspondant de 9 est évidemment renfermée entre les deux quantités

et l’on tire d’ailleurs de l’équation (98)

Si dans cette dernière équation on fait successivement 9 = — 2,354, 9 = — 2,4o,

xute m.

pn trouvera pour les valeurs correspondantes de z

et l’on en conclura que la plus grande racine positive de l’équation proposée est renfermée entre les limites

et

Donc, si l’on appelle a cette plus grande racine, sa valeur approchée à onze cent - millièmes près sera donnée par la formule

En partant de cette première valeur approchée, on pourra par une seule opération en obtenir une seconde dans laquelle l’erreur ne portera plus que sur les décimales du douzième ordre.

Outre la racine a que nous venons de considérer, l’équation (91) admet évidemment une racine négative égale [au signe près] à la racine positive unique de l'équation

et par conséquent renfermée [3/ théorème , scholie 2 ] entre les limites

- — V '4 = — 3,7416... et — |/,4 = — 2, 4 1 • .. . Nommons c la racine négative dont il s agit. La troisième racine b de l’équation (91 ) sera évidemment réelle et positive, puisque le produit abc des trois racines doit être équivalent au dernier terme pris en signe contraire , c’està-dire, à — 7. Déterminons à présent cette troisième racine. Pour y pat venir , on cherchera d’abord un nombre

G égal ou inférieur à la valeur numérique de ï\\a Or , puisqu’on a dans le cas présent

on en conclura

On pourra donc prendre

Ü’àilieurs, en vertu de ce qui précède, on a encore «<1,6922,. — c< 3,74^7»

et par suite

Cela posé, on trouvera [2/ problème, scholie 2]

et l’on aura en conséquence

Après avoir reconnu , comme on vient de le faire , q«P ia racine b est inférieure à la limite i,4°> Pii supposer»

L’équation (91) donnera dans cette hypothèse

(103) 0,05 -h z — 3,75 .z1 — -H" rr;0'

ou , ce qui revient au même ,

la valeur de q étant déterminée par la formule

(îo4) q = 3,75 -br ~<z. .~^

Le double du premier terme de l’équation: ( i o 3 ) eit o,. 1 ; et, comme le premier membre de cette «quation change de signe lorsqu’on passe de z = o à £œà-*~ci, 1 tandis que le polynojne

1 — 1 x 3-7!-'— 3 x-fjs* .v.

reste constamment positif dans fintefvdîei, il’ en résulte quelle a une seule racine réelle comprise. entre les limites o , — 0,1. La valeur correspondante de q est évidemment renfermée entre les deux quantités

3,66 et 3,75.

En substituant successivement ces deux quantités h la place de la lettre q dans l’équation (100), on obtiendra deux nouvelles limites de l’inconnue z , savoir,

*-Hv/77^! =”~ °43 *7 •••

et

-^ha=-°’0^

puis l’on en conclura que la racine positive b est comprise entre

et

On obtiendra donc la valeur approchée de cette racine à un dix-millième près , si l’on prend

Quant à la racine négative c de l’équation (91), nous **vons déjà quelle est comprise entre les limites TOM. 1. Kk

— 3,7 4^6 .. * et — '2,4* •••

On cîbiic'sa valeur Approchée à une unité près > sl on h suppose égalé à — 3. Cela posé, faisons clans quation-^) •

On trouvera

(io<?) .QjOj-hs — c,4j.21'+-^05-sî — °* ou , ce qui revient au même ,

la valeur de q étant déterminée par la formule (107) H = °>fo — °>°5-z-

De plus , on . reconnaîtra facilement , que lVquatio’’

. -'-Ua. mwc vin*» «P.llf» . COmPrI

Déplus, on reconna.ua — . -, ► -

(\o6) a une racine réelle, mais une seule, corn pr entre les limites o , — 0,1 ; 2/ que la valeur corresp dan te de q est renfermée entre les deux nombres

que ces deux nombres substitués à la place de la l elt*^ dans l’équation (»oo) fournissent deux nouvelles va approchées de 5, savoir,

et

Par suite, la valeur approchée de c à un cent-n»

près sera

Au reste, on aurait pu déduire immédiatement a

approchée de c des formules (101) et (105). En effet, puisque dans I équation (9 1 ) le coefficient de x 4 se réduit à zéro, on en conclut

a b -+- c = o , c = — a — b ; et par conséquent , à très-peu près ,

Pour terminer cette note, nous présenterons ici deux théorèmes dont le second comprend la règle énoncée par Descartes relativement à la détermination du nombre des racines positives ou négatives qui appartiennent à une équation de degré quelconque. Dans ce dessein , nous allons d’abord examiner le nombre des variations et des permanences de signes que peut offrir une suite de quantités , lorsqu’on suppose les differens termes de cette suite comparés l'un à l’autre, dans l’ordre où ils se succèdent.

Soit

! (109) ao t ai > «d ••• am, , am>

la suite que l’on considère , composée de m -f- 1 termes. Si aucun de ces termes ne se réduit à zéro, le nombre des variation6 de signe qu’on obtiendra en les comparant deux à deux, dans l’ordre où ils se succèdent, sera complètement déterminé. Mais, si quelques termes se réduisent à *éro , comme on pourra , dans cette hypothèse , fixer arbitrairement le signe de chacun d’entre eux , le nombre des variations de signe dépendra de cette fixation même , de manière cependant à ne pouvoir s’abaisser au-dessous dun certain minimum , ni s’élever au-dessus d’un certain Maximum. Une semblable remarque peut être faite sur le Nombre des permanences de signe. Ajoutons que, pour °btenir le nombre maximum des variations de signe , il

Kk*

suffit de considérer chaque terme qui sevanouit corn»' affecté d'un signe contraire a celui du terme Hute e Concevons , par exemple , que la suite (109) se, coup des quatre termes

Le premier de ces termes étant positif, on obtiendrai* nombre maximum des variations de signe, en consi e le second terme comme négatif, et le troisième comra positif, ou, ce qui revient au même, en écrivant

Par suite, dans ce cas particulier, le nombre maxim»* dont il s'agit sera égal * On aurait obtenu au contra le nombre minimum des variations de s.gne , çgaalun en affectant chaque terme nul d un signe semblable a du terme précédent, c'est-à-dire, en écrivant -+- I , ■+* O , ° — 1 *

Ces principes étant admis, on établira sans difficulté * propositions suivantes. ^

6.* Théorème. Supposons que , la constante h eta> réelle et positive, on multiplie le polynôme

par le facteur linéaire , + k. Cette W augmentera pas le nombre maximum des »««« de signe entre les coefficient successifs des putss descendantes de la variable s. . 0)

DEMONSTRATION. En multipliant le polynôme^

Dar x-t-A, on obtient un nouveau polynôme dans \ les puissances descendantes de la variable ont pou ficiens respectifs les quantités (lit) Oui m

II suffira donc de prouver que Le nombre des varia lions de signe ne croît pas dans le passage de la suite! (109) ii la suite (1 i 1) , lorsqu’on a porté ce nombre au maximum dans l’une et l’autre suite , en affectant chaque terme qui s’évanouit d’un signe contraire à celui du terme précédent. Or, je dis en premier lieu quelles signes étant fixés d’après cette règle, chaque terme de la suite (1 1 1), représenté par un binôme de la forme a n -f- h 1

prendra le même signe que lun des termes , a^] de la suite ( 1 09). Cette assertion est également évidente dans les deux cas qui peuvent se présenter, savoir, 1 .* lorsque les deux termes au t, an sont originairement, ou en vertu de la règle adoptée , affectés de signes contraires , par exemple , lorsque an s’évanouit ; 2 * lorsque , an ayant une valeur différente de zéro, an t est affecté du même signe que an. En conséquence, si l’on attribue aux quantités

(112) haOJ halt haxt . . . 4am, > les mêmes signes qu’aux termes correspondans de la suite ( 1 09) , on pourra , sans altérer en aucune manière la succession des signes dans la suite ( . 1 1 ) , y remplacer chaque binôme de la forme

an "b" /*#„,

par l’un des deux monomes an, h an l. En opérant ainsi, on obtiendra une nouvelle suite dans laquelle chaque terme de la forme an se trouvera suivi d’un autre terme égal, soit au monome a^t , soit au monorne han qui est la seconde partie du binôme an ^ h an, tandis que chaque terme delà forme han se trou vera suivi du monome 4 a ( , ou du monome a#+i qui est la première partie

du binôme a^+hci^. Cela posé, concevons que la nouvelle suite on "distingue , i .° chaque terme de la forme an auquel succède un autre terme de la forme han , 2.* chaque terme de la forme han auquel succédé un autre terme die la forme » et soient respectivement a, y haui a, y ha„ y &c. . . .

les diffèrens termes de l’une et l’autre espece rangés d’après l’ordre de grandeur des indices qui affectent la lettre a- La nouvelle suite , composée des monomes

j aoy alf ... a,} ha ,, ha,+t, ... hau, au+1,...a,f ("3)j ha,, ha,+,, ... ha,, a.+„ &c... ha.,

ne présentera évidemment que des variations de sign^ propres à la suite (1 09) avec celles qui peuvent naître dans le passage de hau à de haw à aw 4.,, &c... D ailleurs il est aisé de voir que, si les deux quantités hau et av+4, ou , ce qui revient au même ,

au et au+t

sont affectées de signes contraires, la variation de sign* correspondante ne fera que remplacer une autre variation de signe propre à la suite (109), savoir, celle qui a'al lieu entre le terme at^t et lun des deux termes au ,

Une remarque toute semblable s’applique au cas où e* monomes ha„, nr-+-î sont affectés de signes contraires» &c.... On peut donc conclure que le nombre viaxinu^ des variations de signe n’augmente pas , lorsqu on passe la suite ( 109) à la suite (113), et par conséquent à 1* suite (1 1 1); ce qu’il fallait démontrer.

Corollaire. Si l’on multiplie le polynôme (' |0' par plusieurs facteurs linéaires de la forme

4 /t' h", . désignant des quantités positives, on

n’augmentera pas le nombre maximum des variations de signe entre les coefficiens successifs des puissances desccndantes de la variable x.

7.' Théorème. Soient, pour le polijnome (i îo) F(x) = «0x"+a,x”"‘-t-."-H»m-i*-H,».> m- h nombre minimum des permanences de signe, et le nombre minimum des variations de signe entre les coefficiens successifs des puissances descendantes de *. Alors dans l’équation

le nombre des racines négatives sera égal ou inferieur à m ', le nombre des racines positives égal ou intérieur à m", et le nombre des racines imaginaires égal ou supérieur à ta différence

DÉMONSTRATION. Pour établir la première partie du théorème, j'observe que, si l’on appelle h, h , h , ... les racines négatives de l'équation (t >4)< Ie polynôme F{x) sera divisible par le produit

Nommons Q le quotient. D'après le corollaire du théorème précédent, le nombre maximum des variations de signe dans le polynôme F(x) sera égal ou inferieur au nombre maximum de ces variations dans le polynôme 0, et par conséquent au degré de ce dernier polynôme. Par suite, le nombre minimum des permanences de signe

dans le polynôme F (x) sera égal ou supérieur à la différence entre le nombre m et le degré du polynôme Qt c’est-à-dire, au nombre des racines réelles et négatives de {équation

Pour démontrer la seconde partie du 7/ théorème, il suffira de remarquer qu’en écrivant — x au lieu de $ dans I équation (i i4)> on cliange à-Ia-fois les racines p0sitives en négatives, les variations de signe en permanences , et réciproquement.

Enfin, comme cette équation, étant du degré m, doit avoir m racines réelles ou imaginaires, il est clair quc la troisième partie du théorème est une conséquence immédiate des deux autres.

Corollaire. Pour montrer une application du théorème précédent, considérons en particulier l’équation

(115) xm -4- 1 = o.

On trouvera , 1 .° en supposant m pair , m' = O, m" = o,