en supposant m impair

Par suite l’équation (115) n’a point de racines réelle5 dans la première hypothèse, et ne peut en avoir qu’ufl® dans la seconde, savoir, une racine réelle négative.

Sur le Développement de la Fonction alternée (y— x) x (z—x) (s— y) x - x (v— x) (v— y) (y—z) . [y— u).

DÉSIGNONS par <p îa fonction dont il s’agit. Ainsi qu’on l’a déjà remarqué [ chap. III, 2]> chaque terme de son développement sera équivalent (abstraction faite du signe) au produit des diverses variables rangées dans un certain ordre , et respectivement élevées aux puissances marquées par les nombres

De plus , il est aisé de voir que tous les produits de cette espece peuvent se déduire les uns des autres à l’aide d’un ou de plusieurs échanges opérés entre les variables prises deux à deux. Ainsi, par exemple, on déduira le produit

j ;0y‘ z1 . wn“* vn~'

d’un quelconque des produits de même forme, en faisant passer successivement par de semblables échanges la lettre a; à la première place , puis la lettre y à la seconde , puis la lettre z à la troisième , &c. . . . Comme d ailleurs la fonction ? change de signe ( en conservant au signe près la même valeur) toutes les fois qu’on échange deux variables entre elles , on devra conclure i .° que le développement de cette fonction renferme tous les produits ci-dessus mentionnés, pris les uns avec le signe les autres avec le signe — ; 2.° que, dans le même dévelop-

peinent, deux produits, choisis au hasard , sont affectes du même signe, ou de signes contraires, suivant quon peut les déduire l’un de l’autre par un nombre pair ou par un nombre impair d’échanges. En partant de ces remarques, on établira sans difficulté la proposition suivante.

l.*r Théorème. Joignez au produit x% y' zx .... u""1 v*~l

tous ceux que Von peut en déduire à laide d un ou de plusieurs échanges successivement opérés entre les variables

prises deux à deux. Le nombre des produits que vous obtiendrez sera

et ils se partageront en deux classes distinctes , de telle maniéré quon ne pourra jamais déduire l un de Vautre deux produits d'une même classe que par un nombre pair d’échanges , ni deux produits de classe différente que par un nombre impair d’échanges. Cela posé , si Von ajoute tous les produits d’une classe pris avec le signe -H aux produits de Vautre classe pris avec le signe — , on trouvera pour somme , suivant qu’on donnera le signe -H aux produits d une classe ou à ceux de Vautre , soit le développement de p- ç , soit le développement de — <P-

Il suffit évidemment d’avoir égard à la proposition précédente pour construire le développement de la fonction alternée ±: <p. Toutefois on doit remarquer encore un autre théorème , à l’aide duquel on peut décider fin'

médiatement si deux produits, pris au hasard dans le développement dont il s’agit , s’y trouvent affectés du même signe ou de signes contraires. Nous nous contenterons d’énoncer ici ce second théorème , sans en donner ia démonstration qu’on déduira sans peine des principes que nous avons exposés.

2.e Théorème. Pour décider si , dans le développement de la fonction altemce zt deux produits de la forme

sont affectés du même signe , ou de signes contraires t on distribuera les variables

en plusieurs groupes , en hyant soin de faire entrer deux variables dans un même groupe toutes les fois qu elles porteront le même exposant dans les deux produits que l’on considéré , et formant un groupe isolé de chaque variable qui n aura pas change d exposant dans le passage du premier produit au second. Cela posé , les deux produits seront affectes du même signe , si la différence du nombre total des variables au nombre des groupes est un nombre pair ; et ils seront affectés de signes contraires , si cette différence est un nombre impair.

On facilite l’usage du théorème qui précédé , en écrivant les deux produits l’un sur I autre , et rangeant dans chacun d’eux les variables d’après l ordre de grandeur des exposans qu’elles portent.

Pour appliquer à un exemple les deux théorèmes cidessus énoncés , considérons en particulier cinq variables

Le produit de leurs différences, ou, si l’on veut, la fono tion alternée

(y — x) (z-x) (z-y) ( Ur-x ) (u-y) (u-z) («-*) (*-ÿ) (•“*) fournira un développement composé de cent vingt termes respectivement égaux à cent vingt produits dont soixante seront précédés du signe -4-, et soixante du signe —y" L’un des produits affectés du signe -f- sera celui qui a pour facteurs les premières lettres des binômes

savoir ,

x * y1 zx m* v*.

Pour juger si un autre produit tel que x • z' vl m* y4 ,

doit être pris avec le signe -4- ou avec *fe signe — , ^ suffira d’observer que, si l’on compare les deux produits dont il est ici question sous le rapport des mutations qut ont lieu entre les variables données lorsqu’on passe de

l’un à l’autre , on sera conduit à partager ces mêmes variables en trois groupes , dont l’un renfermera la seule variable x, un second les trois variables y , z, v , et un troisième la seule variable u. Si du nombre des variables égal à 5 on retranche le nombre des groupes égal à 3 > on aura pour reste 2 , c’est-à-dire , un nombre pair. Pal conséquent les deux produits devront être affectés dn même signe; et puisque le premier est précédé du -4- , le second devra letre également.

Sur la Formule de Lagrange relative à V Interpolation.

Lorsqu’on veut déterminer une fonction entière de Xf du degré n-\ , d’après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, il suffit d’avoir égard a la formule (.) du chapitre IV [J. «//]. Cette formule , donnée pour la première fois par Lagrange , pourrait facilement se déduire des principes exposés dans le premier paragraphe du troisième chapitre. En effet, désignons par

(,) u = a-hbx-^-cx1 -\r. . .-4- A*" ' la fonction cherchée, et par

ue> «,) U2> . Un-X

ses valeurs particulières correspondantes aux valeurs

Xoi 'X, , X>} . • X n-i

de la variable Les inconnues du problème seront les coefliciens a, b, c, ... h des diverses puissances de x dans le polynôme u; et l’on aura, pour déterminer ces inconnues, les équations de condition

.4- Ax0

es O + bxt -h ex, 3

,.+ Ax

ut = a -4- b x, -H

..4- Ax

uH, = a -4- bx n , -4- ex1

. . .4- bx.

Cela posé, pour obtenir la valeur explicite de. la fonc-

tion u, il s’agira uniquement d’éliminer les coeflicienS a, b , c, ... h entre les formules (i) et (2). On y par' viendra en ajoutant l’équation (1) aux équations ( 2 ) > après avoir multiplié ces dernières par des quantités choisies de manière à faire disparaître la somme des seconds membres. Soient

— A., — A,, — A\, ... — les quantités dont il s’agit. On trouvera

u—X0u0— Xlut—Xxui — . — xn t

= ( « — Xa - Xt — Xz - . -Xn t)a

-4- (x — x. Xa -x, Xt -xzX,-... ) h

(f*— xJX.*— S^Xf— x/X/ — .. . — Xn-i'Xn-i ) c

-4- (xa-l—x0n-,X0—xln~lXl—x2n-'Xx— A,

et par suite

(3) u=X0u0+Xl Vt-hXtUt-h • • • -+-Ab i ,

attendu que les quantités

.Y., X, , X . . Xn,

devront être assujetties aux équations de condition

IX0 + Xt —H Xx -4- . *+" Xn, = 1 ,

xa X0 -4- x , Xt -4- xx X x -4- • • • • -4- X X„t s= x , x01X0 -i-xItX1 •+■ xSXz+ .... H- xn^Xn x = x* ,

x0*“' X„-^-x ln~' X j+x 1n~1 Xx-b . . .-^x n^tn~l X = x*~* •

Si l’on résout ces nouvelles équations par la méthode exposée dans le III.* chapitre [§. i.cr], on obtiendra les formules

(X, — x0) (x,f-xj • ».

(x-xa) Cx-xJ...

(xn,-x0)(x„^t-x,) .

• • (xBJ,— xB^, J

en vertu desquelles l’équation ( 3 ) se réduit à la formule de Lagrange. ,

Au reste , la formule de Lagrange est comprise dans une autre plus générale à laquelle on se trouve conduit , lorsqu’on cherche à déterminer , d'après un certain nombre de valeurs particulières supposées connues, non plus une fonction entière, mais une fonction rationnelle de la variable x. Concevons, pour fixer les idées, que cette fonction rationnelle doive être de la forme

a -\- bx -V- c x1 hxn 1 (6) U = et -h Çx-\-yx'-*~. . .-H0X"*

Alors les inconnues du problème seront les coefficiens a , b , ct ... h ; et, C , y,.**®»

ou , pour mieux dire , les rapports

dont le nombre est »+». H est aisé d'en conclure que la fonction « sera complètement déterminée, si Ion en connaît n-t-m valeurs particulières

correspondantes à valeurs N

(8) xof xlf •••

de la variable x. On arrive encore aux memes conclusions , en faisant voir qu’une seconde fonction rationnelle de la forme — y

a -f- 1/ x + ci* -H . . . -4- h xn 1 cl' Q' x -4- y' xx -+- . . . -+- 6xxm

ne peut satisfaire aux mêmes conditions que la. première, sans lui être identiquement égale. Supposons ? en effet, que les fractions (6) et (9) deviennent égales entre elles, pour les valeurs particulières de x comprises dans la sérié (8). L’éqüàtion

( (a-4-ix-H. . .-HÀx"-1) (*'- h iTx-h . . . -4- 6# *” )

^IC | — (o'-4- i'x-H. . [ct-y-C x- 1-. . 6 xm) = o ,

subsistant alors pour 71-f-wt valeurs de la variable, tandis que son degré reste inférieur à .n-+~m, sera nécessairement une équation identique ; doit il suit quon aura identiquement

C11) rtH-Cx-i-^x1-^ . . . -4-6 xm «'-t-C ,£-^>'xi-+-...-t-Vx7'1 *

On ne peut donc résoudre que d’une seule maniéré la question proposée. On la résoudra effectivement en prenant pour valeur générale de u la fraction

f*— *m^,) (ï—Xm+l)- • ; &C-

U*U , * 1 * Um (x0-xm+,)...(x0-xm+n l)x:,.x(xm—xm+i)...(xm—xm+n^t) —

(x.-j) (x,TTj)...(j-m-,-j) y. &C-

^Cx0— xj...(x0— xm+„I)x...xCxOT 1-^rm)...(jfm I^rmtn I)

dans laquelle le dénominateur doit être remplacé par l’unité, lorsqu’on suppose m = o, et le numérateur par le produit u0 «, ... um ) lorsqu’on supposé n = 1 • Cela posé, on trouvera, pour *»== Q.,.

(x— x,) (x— xx). . ,(x— xB.^ x,D (X,— xJ . . .

pour m= i,

° ' (xo-xJ(xu-X3)..(xo-X,,)x(x|-X J(j,-X j)-(x,-X J ~

° (X0-Jf,X^o^J-C*0-*„) "

pour w = i ,

* Cx,-x0)(x1-*i)..(x1-jrI1)

(xo— j) (x x) . . ■ (xm,— x)

UnU,...Um . 7 - — -

(xo— J?m) (x, xm) . . . (xm, xm) '

&c . Dans chacune des formules précédentes, on

complétera sans peine le numérateur ou le dénominateur de la fraction qui représente la valeur de u, en ajoutant au premier terme de ce numérateur ou de ce dénominateur tous ceux qu’on peut en déduire à l’aide d’un ou dç plusieurs échanges opérés entre les indices. Par exemple, si l’on suppose en même temps m = i et n = 2 , on trouvera pour la valeur de u complètement développée

(x0-x,)(x0-^J 1 (x.-xJCx.-xJ 2 (x,-^ï0)(x2-x,)

Il est bon de remarquer que la formule ( i a) est celle de Lagrange, et que pour en déduire la formule (jr^T) fl suffit de remplacer n — j par m , puis de prendre pour inconnue la fonction — , supposée entière , au lieu de la fonction u.