XS - — - X

Comme on a d’ailleurs évidemment . , f*+0 OU-»).

il en résulte que l’équation (2) peut s’écrire ainsi qu’il suit ,

1 ) . . . (n-hm 1 ) (1H-1 X<H-Q • • • («+”») „» fa

Les coefficiens numériques des puissances successives de x dans le second membre de cette dernière formule , savoir ,

sont précisément les nombres figurés de l’ordre m. La suite de ces memes nombres ou la série (.5) s’étend à l’infini. Son «.'"'terme, c’est-à-dire , la fraction

est à-la-fois le coefficient numérique de x”~l dans le développement de (h-j?)”"1-1 , et le coefficient de xm dans le développement de (1 De plus, si dans la série ( 5 ) on fait successivement

m= 1 , w == 2 , m = 3 , &c. . . . , on obtiendra , 1 / la suite des nombres naturels ou figurés du premier ordre

2.0 la suite des nombres qu’on nomme triangulaires ou figurés du second ordre, savoir ,

1, }, 4, >0. ... — rr~ > *tc— ;

3.“ la suite des nombres qu’on appelle pyramidaux ou figurés du troisième ordre , savoir ,

Si l’on écrit ces différentes suites au-dessus les unes des autres, en ies faisant précéder par une première suite composée de termes tous égaux à l’unité, et plaçant en outre le premier terme de chacune d’elles sous le second terme de la suite immédiatement supérieure, on obtiendra le tableau suivant :

Les nombres renfermés dans la n-+- \ mL colonne verticale de ce tableau sont les coefliciens de la n.me puissance d’un binôme. Pascal , dans son Traite du Triangle arithmétique , a donné le premier la loi de formation de ces mêmes nombres. Newton a fait voir ensuite comment la formule établie d’après cette loi peut être étendue à des puissances fractionnaires ou négatives.

Plusieurs propriétés remarquables des nombres figurés se déduisent immédiatement de la formule (4) du chapitre IV [§. 3 ]. Concevons, par exemple, qu’après avoir remplacé dans cette formule n par n — i , on y suppose

x — m -±- i , y = m' — l- i , m , m' étant deux nombres entiers quelconques , <>n trouvera

te)

___ (iw-H)(w+i)...(w+w— i) t (w+i )(»H-2) .-.-(m-f-n— i) >«'•+-, i .2,. 3. . .(«— 0 . >«.2. 3... («—2) T"

(W-H)lW-Hî) . . . (wVw— ;) (m 1 ï) , . . (m'-H»— , )

puis , en faisant ni1 = o ,

__ 0+0 («H-»). • .(m+n—i) (iw-f-Q (pi-h*) . . .(m-f-n— 1)

De même, si, après avoir remplacé dans la formule (4) [chap. IV, §. 3] « par n - 1 , on fait en outre

x =r m -t- 1 , xj = — (m' H- 1) , on en conclura

(m — m') (m— wi'-t-i). . .(>« — m'-l-n — 2)

0+0 Q+Q.-.Q+n-- 1) (bH-QQ+2). . 2) n'+l

■ m~f~1 - Cf»'— W-4-4) (wt'-hQ w' (w — n-t-3)

Lorsque dans l'équation précédente on suppose m' = ou >m, et en même temps n= ou > m1 -+- 2 , on trouve

(»?'+ ' ) fo4- i )...(/»+»—! m-\) fm-4- » »»'— ^

Knfin , comme les équations (8) et (10) peuvent s écrire ainsi qu’il suit :

il est clair qu elles entraîneront les deux propositions que je vais énoncer.

l.cr THÉORÈME Si , apres avoir forme la suite des nombres figures de l’ordre m , on ajoute les uns atiX autres les » premiers termes de cette suite , on obtiendra pour somme le n.mt nombre figuré de l’ordre m - 4-1.

2/ Théorème. Si l’on désigne pdr m, m deux nombres entiers assujettis à la condition

m = ou > ni ,

et que dans le développement de (, — on rem " pince les puissances Successives de ± par ternie*

consécutifs pris dans la suite des nombres figurés de r ordre m , on obtiendra un résultat égal à zéro.

Corollaire i" Si l’on suppose que les différons termes de la suite

(13) nof al} a\, ... àn , &c. ...

représentent successivement les nombres naturels , les nombres triangulaires , et les nombres pyramidaux , on trouvera dans le premier cas

('4) an ±An-t an-i — 0 »

dans le second

(1 5) «„ — 3V. "H 3«„-* — Ar* = 0 »

et dans le troisième

(16) an — 4 - 4«n 3 -+-«„4 — O-

La première des équations qui précèdêht Se confond avec la formule (3) du chapitre XII [§• • • ]•

Corollaire 2/ Si l’on désigne généralement par

les nombres figurés de l’ordre ?n ,

(17) a0,alx,a2x1) ... tinxH,kc....

sera une série récurrente dont (’éciiefle de relation aura pour termes les quantités

cest-'a-dire , les coefficiens des puissances successives de

x dans le développement de ( 1 — x) +'. Ainsi, par

exemple , la série

i, }X, 6**, >ox),

dans laquelle les puissances successives de x ont pour

coefficiens les nombres triangulaires , est récurrente , et son échelle de relation se compose des quantités i , — 3» "+" 3 > — i-

Parmi les propriétés principales des nombres figurés , on doit remarquer encore celles que présentent les équations (7) et (9), lorsqu’on leur donne les formes suivantes

, v w(n-4-i ) . (n-hwi-t-CT7)

' 1 .2.3.'. ,(»»-H»»/-hi)

(w — i)n . . .(n-j-m— 2) 3.3.4. • •( TO ~*~ 0