w (n -+- 1). ■ .(« -+- ta'— I

. « Çyi-t-f) - (n-t-wi — m' — 2 )

n>-Hi)...(«-+-wi— 1) m+i (a— t )n . . . (n-f-m— 2 ) ( gr(,

Ajoutons que , dans la suite des nombres figurés de l’ordre n, le n-+-\me terme équivaut à la somme des carrés des coefficiens que renferme la n.mt puissance d’un binôme. En effet, si dans la formule (a) [chap. IV, J. 3] on suppose à-Ia-fois x == n , y =n , on trouvera

a«(2«— »ij. . . ,(n-Hi)

Des Séries doubles.

Soient

u0 y u 2 , SfC. ,

des quantités quelconques rangées sur des lignes horizontales et verticales, de telle manière que chaque série horizontale ou verticale renferme une infinité de termes. Le système de toutes ces quantités sera ce qu’on peut appeler une série double ; et ces quantités elles-mêmes seront les différens termes de la série, qui aura pour terme général

m , n désignant deux nombres entiers quelconques. Cela posé, concevons que l’on représente par

la somme des termes de la série ( i ) qui se trouvent compris dans le tableau suivant

u © Uy} \ • - * u u'oi u\, u\y ... u' n

538 note vii.

c’est-à-dire, des termes qui portent àda-fois un indice inférieur plus petit que n , et un indice supérieur plus petit que m. Si la soirtnïe des tertres restans pris en tel ordre et en tel nombre que l’on voudra devient infiniment petite pour des valeurs infiniment grandes de m et de n , il est clair que la somme S , et toutes celles qu’on pourra en déduire en ajoutant à s quelques-uns des ternies exclus du tableau n.° 2, convergeront, pour des valeurs croissantes tPéSw fet de rt , Vers Uîië iiüiite fixe s. Dans ce cas, on dinS que la série (1} est convergente , et qu’elle a pour somma la limite s. Dans le cas contraire, la série (1) sera divergente , et n’aura plus de iomme.

Lorsque les termes exclus du tableau n.° 2, étant ajoutés les nas aux autres en' nombre arbitraire , ne donnent jamais, pouf dés vrffeürs infiniment grandes de m et de il , qtrn dés sommes mfiYrimtfrt pët m, ort ptmt ën'diré autant à 'für'iioti de céti* cfefttrë lés ttiéméS fermés qui appàrriéhilbtit Vttfïé 6Û à pltisiètlfs éôlonnès liôrizontatës oti verticales dù ttbfëâü H.* (i). « &it ifffmddiîitëmént cîc cette remarque que , si la sérié double comprise dans 1e tableau pu0 (4 ) ^t convergente y cliacune des séries simple comprises dans les colonnes horizontales ou verticales do même tableau le sera pareillement. Désignons, dans cette hypothèse , par

tÇ:m)

le résultat qu’on obtient en ajoutant les sommes des jrl premières Sériés horizontales do tàbleau n.° (1), cest-à dire, les m premiers termes de la série simple

et par

NOTE Vït.

le résultat quon obtient en ajoutant les sommes des n premières séries verticales, c’est-à-dire, les n premiers termes de la série simple

Ucr^u'o-+-u"„-h&a- t «f,-t*JMl/-4i4*I"-4-&c. , ,

^ sera évidemment la limrte de l'expression sjm) pour déâ valeurs croissantes de ri , et sn la limite cle la même expression pour des valeurs croissantes de m. Par suite, il suffira de taire croître indéfiniment m dans s(MJ et n dans sn , pour faire converger s{m) et sk xers la limite s. On peut donc énoncer la proposition suivante.

l.cr THÉORÈME. Supposons que la série double « comprise dans lç tableau nffaj, soit convergente ; et désignons par s la somme (J# cet$ç sfirlc. Les séries. (■3) et (4). seront également convergentes , et chacune d’elles aura encore pokr sotribic ta quantité s.

Concevons maintenant que les valeurs numériques' dé& quantités comprises dans le tableau n,° ( r) soient respectivement désignées par :

(. fi'. «■> t*- àiC->

\ &LC.

Les termes du tableau n.0 (1) qui s# trouvent exclus du tableau n.° (2) , étant ajoutés les. un» aux autres en tel nombre que l’on voudra , fourniront évidemment une somme inférieure ou tout au plus égale [abstraction faite du srçpie] à la somme dés termes corresporidans du tableau

n.° (5). Donc, si, pour des valeurs infiniment grandes des nombres m et n , cette dernière somme devient infiniment petite , ii en sera de même à fortiori de la première; ce qu’on peut encore exprimer en disant que, si la série double comprise dans le tableau n.° (5) est convergente, la série ( 1 ) le sera pareillement. J’ajoute qu’on sera complètement assuré de la convergence de la série double comprise dans le tableau n.° (5), toutes les fois que, les séries horizontales cle ce tableau étant convergentes, leurs sommes, savoir,

(.6) , J>0'-hJ,l,-hJ3i,+ &c.r -P0'4-jV'-HA"+&c. ,

formeront elles-mêmes une série simple convergente. En effet, soit, dans cette jiypothèse, g un nombre aussi petit que l’on voudra. On 'pourra choisir m a&ez considérable pour que faddition dès sommes

èt par suite, celle des fermes du tableau n.* ($) affectés d’un- indice supérieur au moins égal à m , ne produise jamais un résultat plus grand que £ g . De plus , le nombre m étant déterminé comme on vient de le dire, on pourra encore, puisque chacune des séries horizontales du tableau n.° (5) est convergente, choisir n assez considérable pour que chacune des sommes

soit égale ou inférieure à g ; auquel cas l’addition des termes qui , dans le tableau (5) , portent un indice supérieur plus petit que ni , et un indice inférieur au moins égal à «, ne produira jamais un résultat plus grand que ^ g. Les deux conditions précédentes étant remplies , il est clair que dans la série ( 5 ) les termes affectés d’un indice supérieur au moins égal à m, et d’un indice inférieur au moins égal à n , ne pourront donner par leur addition mutuelle qu’une somme tout aü plus égale à g. Donc cette somme deviendra infiniment petite , si l’on attribue aux nombres m et n des valeurs infiniment grandes, puisque alors il sera permis de faire décroître g au* delà de toute limite assignable. Donc l’hypothèse admise entraîne la convergence de la série (5), et par suite celle de la série ( 1 ). En combinant ce principe avec le premier théorème , on en déduit une nouvelle proposition que je vais énoncer.

2.c Théorème. Supposons que , toutes les séries horizontales du tableau n.° (1) étant convergentes, leurs sommes , savoir ,

(3) &C. , U0'-+-Ul'-t-u/-»-&C. , «0"-hW, H-Uj ’-t- &c. ,

forment encore une série convergente , et que celte double propriété des séries horizontales subsiste dans le cas même où Von remplace chaque terme du tableau n.° (1) par sa valeur numérique. On pourra dès-lors affirmer , i.° que toutes les séries verticales sont convergentes , 2.° que leurs sommes, savoir,

(4) , w,-4-u1'-hu1'-4-&c. , ,

forment encore une série convergente , ,?/ enfin que la

£ 42 NOTE vu.

somme de la série (4) est précisément égale à celle de

la série (3),

COROLLAIRE i.n Le théorème précédent subsiste lors même qu’on suppose quelques -unes des séries horizontales ou verticales composées d’un nombre fini de termes. En effet, chaque série de cette espèce peut être considérée comme une série convergente indéfiniment prolongée , mais dans laquelle tous les termes dont Ie rang surpasse un nombre donné s’évanouissent.

Corollaire 2* Soient

VQ , V t , V2 , V J , &c .

deux séries convergentes qui aient respectivement pour sommes les deux quantités s , s', et dont chacune reste convergente lors même qu’on réduit ses différens termes à leurs valeurs numériques. Si l’on forme le tableau

iu0v o, w, va , v2v0, u}v0, &c. , u0v, , utv, u2vl , &c. ,

u0v3, utvif &c. ,

on reconnaîtra sans peine que les séries horizontales de ce tableau jouissent des propriétés énoncées dans le 2. théorème , et que leurs sommes sont respectivement

(9) v0 s, vts , v2s , s, &c .

Par suite, en vertu du 2.* théorème et de son premb’r corollaire, les sommes des séries verticales, savoir,

note vu.

!Uol)0, UDV, -+-m,®o, v0v1-h-uIvx~^u2v93. •••

v>+„1»1.r+r. + &cformeront une nouvelle série convergente ; et la somme de cette nouvelle série sera égale il celle de la série (9) , c està-dire, évidemment au produit 55. On se trouve ainsi ramené par la considération des séries doubles au 6.c théorème du chapitre Vï [*§• 3 ]•

Corollaire Si l’on appelle * le sinus d’un arc

compris entre les limites ~~ * '+* 2 ’ et Sa gentc , on trouvera

Cela posé, puisque en vertu de la formule^) [chap. IX, §.2] on a, pour des valeurs numériques de 5 inferieures

à l’unité,

arc tang. Z = 3 - ~ ’ j 7 C. . . ,

on en conclura , pour des valeurs numériques de x infé-

arc sin. X = arc tang.

ou, ce qui revient au même,

*1 fl

JL**

Comme les séries horizontales comprises dans le second membre de l 'équation précédente remplissent évidemment les conditions énoncées dans le 2* théorème, tant que la variable x conserve une valeur numérique infériëure à

; il en résulte que cette équation peut s’écrire ainsi qu’il suit :

x~x -1- CÎ-O -7 f -h Ot

De plus, si dans la formule (5) du chapitre IV [§. 3 ] , on attribue à y la valeur négative — 2 , et à a-’ l’une des valeurs positives 3 , 5,7, &c. . . , on en tirera successivement

et par suite, on trouvera définitivement 2.4 5

arc sin. X = X H - - - H — -

Il est facile de prouver, à laide du calcul infinitésimal, que cette dernière équation subsiste non-seulement entre

les limites x = — x — mais aussi entre

les limites x = — 1 > x = -h 1 .

Corollaire 4* En vertu de la formule (ao) [ chap. VI , §. 4 ] , on a , pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites — 1 et 1 ,

= x — -il ( I - !*)■ -+- Y (i- -/*) ( I- -;A0 -&c. ; ou , ce qui revient au même ,

Comme les séries horizontales que comprend le second membre de 1 équation précédente remplissent les condi- TOM. 1. Mm

tions énoncées dans le 2.‘ théorème, tant que la variable. .v conserve une valeur numérique inférieure à I unjte , il en résulte qiré-cette équation peut s’écrire ainsi qu il suit

Mais on a <ïéjàj trouvé [chapitre VI > $v 4 » P10^- ?

corollaire 2 ]

(.4) ' 1 :i('+*)Y+kc..

I étant la caractéristique des. logarithmes népériens. Les formules (13) et ( 1 4 )r devant- raccorder entre elles [voyez le 6/ théorème du chapitre VI, §.4], cm en conclura , pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites — 1 et -H 1 , — -

Dans ce qui précède , nous n’avons considère' d’autres séries doubles , convergentes ou divergentes , que celles dont les difïërens termes sont des quantités réelles. Mais ce qui a été dit à l egard de ces séries peut également s’appliquer au cas où leurs termes deviennent imaginaires, pourvu qu’alors on écrive par-tout expression imaginaire au lieu de quantité , et module au lieu de valeur numérique. Ces modifications étant admises , les théorèmes i.cr et 2.e subsisteront encore. C’est ce que l’on démontrera sans peine, en s’appuyant sur le principe suivant.

Le module de la somme de plusieurs expressions imaginaires est toujours inférieur à la somme de leurs modules.

Pour établir ce meme principe, il suffit d’observer que, si l’on fait

Ç (cos. â-f-y/ —I sia. ô) -f- ç' (cos. ô' —J — y/— i sin. Q’

= R (cos. T -f— y/— < 1 s»n- 'R) y

ç , ç', ...R désignant des quantités positives, on en conclura

^^^(çcos.fl-l-ç' cos.fl'-j-...)* (ç sin. ô -f- ç' sin. Q'-\- ...)4

= •••"+* 2çç'c01(ô — .