pour des valeurs impaires de m
(ij) cos.WlS = 2"'1 «os.2 x
et
( l 4) sin. JW S == 2m l sin.z X
(sin.- £-“* *)• • •(““•■ •
Si dans les quatre équations qui précèdent on réduit la
partie constante de chaque facteur binôme à l’umte , en écrivant, par exemple,
les facteurs numériques des seconds membres deviendront évidemment égaux à ceux des termes qui, dans les for^ mules (3), (4), (î), (*) du chap. VII [J. 5 ]> sont mdependansde sin.s ou renferment sa première puissance, c’est-à-dire , à l’unité ou au nombre m. En conséquence on trouvera, i.° pour des valeurs paires de m,
V V cos./».—
(l6) *in. mz = m rin.Z cos.Z X
‘ pour des valeurs impaires de m ,
711 Z = cos. Z X
(l8) sin.mS = tllnn.Z X
/ siu.1 z \ ( sin.2s \ / «n.» g \
De plus, si l’on observe qu’on a généralement
1 \) - sin.2 U =
on reconnaîtra sans peine que les équations ( i i ) , ( i 2) , (13) et (i4) peuvent être remplacées par celles qui suivent :
aos.zf COS. 2Z- COS.— ) ( COS. 1 z — cos. — ) . . .. ^ V>J \ m J
. (cos.zz-cos.—^),
n.2 f C0S.22— cos. — Jl cos. 2 z— cos. — !...
les deux premières se rapportant au cas où m est un nombre pair , et les deux dernières au cas où m est un nombre impair.
Les douze équations qui précèdent subsistent également , quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires attribuées à la variable z. On peut donc y remplacer cette variable par -j- — z, par y/~i l(x) , &c. . . . Dans le premier cas , on obtient plusieurs équations nouvelles correspondantes aux formules (9), (10), (n), (*2) du chapitre VII [5/ paragraphe]. Dans le second cas, les équations (19) et (20) donnent respectivement, pour desvaleurs paires de m,
OOO
rw 4 L ( xx— acos. “-4- .r*— acos. * 1- “i)..
X xm - ^ m xVV rn XJ
. . -lC0S—
-^= («■--?; Cx -2C0S-^r4-^;-**
f J TR— 1.7T > ^
et pour des valeurs impaires de m ,
’+-?"= C*-*- -T-) (**—, CM^£+^r)”
/ wt — i ."y 1
ce qui s’accorde avec les résultats obtenus dans le chap. X
II nous reste encore à indiquer plusieurs conséquences assez remarquables que fournissent les équations (i i) et
05), O*)- et 06), et('7)’ Ct(l8)’ L°rS’
qu’on développe leurs seconds membres suivant les puissances ascendantes de .in. s , les coefficiens numériques de ces puissances doivent être évidemment les memes que dans les formules (3), (4), (s) et (6) du chap. VII [ $• 5 ]• De cctte seidc °^servat^on on d^duira immédiatement plusieurs équations nouvelles auxquelles satisferont les sinus des arcs
556 note vnr.
On trouvera, par exemple, pour des valeurs paires de ni,
i = i sin.2 - . sin.2 2 — . . . sin.i i - —
* m zm 2 ru 7
m, - , 27r . , Arr (m — 2) t
» = 2 sin.2 - . sin.2 — — . . . sin. - - - — ;
(w-hî)(l>|— 2) 1.2.3
. . iT . , AT
sin.2 — sin. — 2 m 2m
et, pour des valeurs impaires de m,
1=2 sin.
2T . 2 4^ . , C»i— Ot
- . sin.2 - .... sin.2 - - - — *
zm 2 m 2 7» ’
(m+\ym—\)
(wi-h)(tb — 1) ^ 1.2.3
n. — gin.2 —
sin. -
J’ajoute que , si l’on multiplie par les (^cuX
membres de chacune des équations (24) ou (26) , on en conclura, en faisant croître m indéfiniment,
En effet, considérons, pour fixer les idées, la seconde
dés équations (î4)* En multipliant ses deux membres par
gy . (0 .©
Soit d’ailleurs w un nombre entier inférieur à — • Désignons à l’ordinaire par la notation M (a, l) une moyenne entre les quantités a et h. Enfin observons
que le rapport est toujours [voyez la page 64]
compris entre les limites i , cos— ; et que 1 on a par suite , pour des valeurs numériques de x inférieures à — ,
j gin. — S* cos. jx ^ cos.^x
Le second membre de l’équation (29) sera évidemment la somme 'des deux polynômes
558 note vu r.
dont le premier, en vertu de l’équation (i i) des préliminaires, pourra être présenté sous la forme
tandis que le second , composé de — - n 1 termes
tous inférieurs à ~~î > restera compris entre les limites o et —r. Cela posé, l’équation (29) deviendra
,Jït) -+-5-x-w(°’ •>*
et l’on en conclura immédiatement
IÜL M (o , 1).
Cette dernière formule subsiste , quels que soient les nombres entiers m et n , pourvu que ton ait > n. En outre , il est aisé de voir que , si l’on prend constamment pour 1 m le plus petit des entiers supérieurs à na (fl désignant un nombre compris entre r et 2 ) , les rapports JL JL convergeront ensemble , pour des valeurs croissantés de n , vers la limite zéro , et le second membre de la formule ( 30) vers la limite ^ . Le premier membre
devant avoir la même limite que le second , il en résulte , i que la série
sera convergente, ce que l’on savait déjà [ voyez le corollaire du 3-e théorème , chapitre VI, §. 2] ; ±.° que cette
série aura pour somme .
L’équation (22) étant ainsi démontrée, on en tirera, en divisant ses deux membres par 4 >
TT H~ TT •+■ &c .
On aura par suite
Cette nouvelle formule s’accorde avec l’équation (27) , qu’on peut déduire directement de la première des équations (24) ou (26).
Avant de terminer cette note , nous ferons remarquer que, pour établir les huit formules (3), ($), (6),
Ç9), ( 1 p) , (m) et (1 2) du chapitre VII [J. 5 ], il suffit de démontrer les quatre dernières , et qu’on y parvient très -promptement en développant les équations (1 o) du chapitre IX [§. i.kr], savoir,
( . 1 i-i-zcos4-l1-z2cos.a94-23co9.3g-t-&c. = — l- — — C0S~ ^ -
t l-*2ZCOS.94-Za
3sin.fl-+z*sin.29-h«îsin4Ô-t-&c. = - — *n‘ ^ -
1 — azcos.Ç-f-z*
Considérons , par exemple, l’équation (32). On en tirera , pour des valeurs numériques de z inférieures à l’unité ,
560 note vin.
2 sin.9-Hz*sin.a0-4-zîsin.î9-+-. .
l+Z* 2ZCOS.Ç
= sin. 9 {<i-t-zT,-+-aZ,co«-fl(,"*"^*r*-+-4a,co8 fl (« +«*)“* -^&c-]
1z — z} -H Z5 - . ;fcz*"-*q=& C.\
