cos. 0(zz* — 4z4-H . + inzl"±8u:- ) I

t-»)in(iiH=Og>, &c\ i .2.3 /

et l’on trouvera par suite , en égalant entre eux les coefficiens des puissances semblables de z,

sin. 2 71 0 -

(__l) sin. 6 [2nc0s.fi - — - cos.3 0 -f* &C.J ,

(34) sm. \ 2Tl-\-

(—1) 8h, fl |1__ n

sin. (2n -4- 1 )fi —

Si dans ces dernières formules on remplace ô par s 7 et 2 n ou 2n-f-i par m , on obtiendra précisément les équations ( 1 o) et ( 1 1 ) du chapitre VII [ $. 5 ]• Les ^ua‘ lions (9) et (12) du même paragraphe se déduiraient , par un calcul semblable, de la formule (31).

Sur les Produits composés d’un nombre infini de Facteurs.

Désignons par

(i>- U0, U1} uif . un) <;

une suite infinie de termes positifs ou négatifs , dont chacun soit supérieur à — t. Si les quantités

[ l étant la caractéristique des logarithmes népériens ] , forment une série convergente dont la somme soit égale à s, le produit

(3) (l-+-M0) (H-Wf) (l.-+-»0 • • •

convergera évidemment , pour des valeurs croissantes du nombre entier 7^ vers une limite finie et d$erenfe de zéro , équivalente à es. Si au contraire la série. (.4) w3t divergente , le produit (3) cessera de converger vers une limite finie différente de zéro. Dans le premier cas , on est convenu d’indiquer la limite du produit que l’on considère , en écrivant le produit de ses premiers facteurs suivi d’un ér'c’. , comme on le voit ici ,

La même notktion peut être conservée dans le cas où cette limite s’évahouit.

Nil

;,G2 note ix.

Four cjue la sérié (2) soit convergente , il est d’abord nécessaire que , le nombre n venant à croître indéfiniment , chacune des expressions

et par suite chacune des quantités

un , M|+I , nB+i , &c. ...

devienne infiniment petite. Cette condition étant remplie, comme on a généralement

on trouvera , pour des valeurs de n très-considérables ,

HSt *-“.*.) = “•*. “ i *‘*V. •-*- -'&c-

zh. e , zize , &c. . . . désignant encore des quantités infiniment petiteà ; pu\s Ton en conèlüfa, en représentant par m un nombre entier quelconque , et par 1 dt € une moyenne entre ‘lés facteur^ ‘t fit , 1 iït £,*,.» &c* ,

U r.-+-U f’ ”+*‘ • • )1fT

Concevons maintenant que dans la formule précédente on fasse croître le nombre m au-delà cle toute limite. Selon que chaque membre de la formule convergera ou non vers une limite fixe , la série (2) sera convergente ou divergente. Cela posé , l’inspection seule du second membre suffira pour établir la proposition que je vais énoncer.

K OTE rx.

l,er Théorème. Si la scrie (i) et la suivante (8) «0\ M|\ u2\ . . . w„\ &c.. . .

sont l’une et l’autre convergentes , la série (2) le sera pareillement , et par suite le produit (3) convergera , pour des valeurs croissantes de n , vers une limite finie différente de zéro. Mais , si, là série (i) étant convergente , la série (8) est divergente , le second membre de la formule (7) ayant alors pour limite l’infini négatif, le produit (3) convergera nécessaire* ment vers la limite zéro.

Corollaire / " Si la série (2) étant convergent* a tous ses termes positifs, ou si elle demeure convergente lors même quon réduit ses différens termes à leurs valeurs numériques, on sera évidemment assuré de la convergence de la série (,8) ; et en conséquence le produit (3) aura pour limite une quantité finie differente de zéro. C’est ce qui arrivera, par exemple, si le produit en question se réduit à l’un des suivans :

(.+•') (,+-r) O-1-?-) O-HO,