I.“ PARTIE. CHAP. Il

a=za-+- X^y -*-v3-+-&C -

x — ht, y — ctx &c. ,

a, br c... désignant des quantités constantes. Alors, u étant fonction continue de x, y, z ... entre des limites quelconques de ces variables , et vc, y, z... fonctions continues de la variable t entre des limites quelconques de cette dernière , on conclura du théorème }.e que la fonction

est elle -même continue par l'apport à t entre des limites quelconques. Par suite, comme / = o donne u = a , si l’on fait converger t vers la limite zéro , la fonction u convergera vers la limite a, et finira par obtenir le même signe que cette limite ; ce qui s’accorde avec le 4 e théorème du §. i .*r

Une propriété remarquable des fonctions continues d?uiie seule variable ,* c'est de pouvoir servir à représenter en géométrie lès ordonnées de lignes continues (frtrîfcs' "ou courbes. De cette remarque on déduit facilement la proposition suivante.

4.c THÉORÈME. Si la fonction f{x) est continue par rapport a la variable x entre les limites x=.roP x=x, et que T on désigne par b une quantité intermédiaire entre /(*„) et f (x), on pourra toujours satisfaire à V équation

par une ou plusieurs valeurs réelles de x comprises entre x0 et x.

cours d’analyse.

Démonstration. Pour établir la proposition precedente, ,1 suffit de faire voir que la courbe qui a pour équation *

rencontrera une ou plusieurs fois la droite qui a pour équation

dans l’intervalle compris entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses et X : or c’est évidemment ce qui aura lieu dans l’hypothèse admise.

n e et, la fonction f(x) étant continue entre les imites x=xoy x=zX , la courbe qui a pour équation y—./X**’)» et qui passe i.° par le point correspondant aux coordonnées *.,/(*,), 2.“ par le point correspondant aux coordonné^ X et f(X ), sera continue entre ces deux ppints : et, comme l’oronnée constante b de la droite qui a* pour équation y=b se trouve comprise entre' les Adonnées f(x0)y /(V) des deux points que fon mfrdète, la droite passera nécessairement entre cès deux points, ce *1 1 c e ne peut faire sans rencontrer dans l’interva e a courbe ci-dessus mentionnée.

no.°mPeU.t.’ au reste’ comme on le fera ([ans ,a

thodc v demontrer le 4-' théorème par une mé- I'avamfreC‘,e *,* PUrement H^que, qui a même léquation ^ f°Urnir '* résoIution numérique de