I.*'** PARTIE. CH AP. III

°n obtiendra définitivement les conclusions sui- Vantes : | o.( . ^

i.* Une fonction alternée, mais entière, de plusieurs variables æ, if, z . u,,v, est composée

(^e termes alternativement positifs et négatifs, dans chacun desquels les diverses variables ont toutes (Ies exposans difîërens ;

2-° Une semblable fonction est divisible par le Produit des différences

. \ - vs . ( : X zk(.n— u),

chacune avec tel signe que Ton voudra.

Le .produit d o#j, il iiftt»qiiestion, ainsi qu’on P°ot aisément le e^t.luirmème une fonc-

J,0n alternée des variables que l’on considère. Pour c> prouver , il suffit de faire voir que ce produit (hangq>de signe ^ en conservant au signe près la ^ème valeur, après lechange mutuel 4e deux valides, x et y par exemple. Or en effet, suivant (iUe Ion adopte pour chaque différence le signe -h °u ^ signe — , ce produit se trouve égal soit à s°it a — çp f Ja valeur de <J> étant déterminée par 1 e- 1«8!®nn( - «b ^‘iuoUmb Una an *nm

76 cours d’analyse.

et, comme il est évident que cette valeur de change seulement de signe en vertu l'échange mutuel des variables- a? et y, oft péut cortclüie qu’il en sera de même d’une fonction équîvklëtite soit & 4- <p', soit à — c p.

Concevons, pour fixer les idées, que l’on prenne chacune des différences ( i ) avec le signe Le produit de toutes ces différences sera la fonction 4 déterminée par lequation (2)*, ou, ce qui revient au même , par la suivante

Inofuoqçrota mnteaoo oh sJÈioal îe9 l*

{}) 59 - b to . ç>. noitonol «I ob

* v ft*-* ) O— éd • * ( vrn* H

Si, de plus, on appelle n le nomhrS^e^^anatle* -r,y, z ... u , #; i 1 été 1 ëSiïtetf t!

des différence**

et par suite, dans ehaqti^VëriUé lâ^ctioi^^ développée et mise sous la forme d’un p JfÿttBîtie » l’exposant d’unq.vambie quekorçqu^né pourm surpasser v— 1. Enfin, comme dans un même teime les différentes variables devront êtr^ affectées dfeX' posans dilféfens, ifcest clair qtle écfc ttiéëfS éxpOsa^1 seront respectivement égaux aux nombres ,3# l

o, .^, 3 , ^ à-Kt , r » j

Chaque tenue, abstra etion faite ét

ficient numérique , sera donc équivalent au prtfd^ des diverses variables, rangées 4çn^un ordre quelconque f et respectivement élevées aux puissance? marquées par les nombres o, 1 , 2, 3 f V . ônu^

i.“ partie, chap. iii. 77

jouter que chaque produit de cette espèce se trou- Vera con^pvjs avec le signe -+- , antot avec le sigjjg, 3-),, 4%, le/Iévelop peinent de

» toncüoj*,g>.3JJj^^gppîg0

nn~'1

2£ftS7q nol.ojjp^efsbi Tuut . en*

•$ Pourra etre formé que par la multiplication des

premières lettres des facteurs binômes qui compofont le second membre de l’équation (3).

A l’aide- des principes que nous venons d établir, 1 est facile de construire en entier le développement e la fonction <p , et de démontrer ses diverses projetés [ voyez à ce sujet la note IV]. Nous allons >PfUn tenant faire voir comment on se trouve conduit, J 'u la considération d’un semblable développement, £tejS1iTHîiR/?n%h if ife premier

aa

’ 9|”eiPfloq «ub omol ai zuo? ^.iru î > > 1 < ; ; 1*

£¥■ «fïWû^itjÿMpgoîJapR ?jdp»;^|swfcÿug *. , omëoi nu énab oinrnoo , nnn3 .1 «ïA*1 •r H fi y -+-c> * *+• f • v. •+• h. v 3b<2 iiir 20ü;>0‘)u/î oiio ino ivop «oiüffnfiv Êofrmonm* loi

I &c. . . ndmon xn« ximgè Jn^movil^oq^n luo.^

I an~ « y^c^t z-h. t v = kn t

^ ^}UatiQuilli«(éaij?es «fatre les n variables ou inedü-

^wiq ijjî in^lcviupà juob sm? oupnômiui tuoiail ^ip o'iïvio uirr^ny, z . . . u , v , ib aoli

W 'mni.iiup n Jj r9upâo.>

. t — jt ... ;p f s) eandmoiuoi isq a^uniu/n

cours d’analyse.

aoy b.,

ca , &c. . . .

at , bti

C j-\ fitc. .-.•••

ax, b% ,

Ht*

m îttrbo^q nht

On-, » bn

1 y cn-i y &C. . .

choisies arbitrairement. Représentons, en outre, par P ce que devient la fonction <j> lorsqu’on y remplace les variables (\ ub

JC , y, z ... u, v

par les lettres

considérées comme autant de nouvelles quantités ^ en sorte qu’on ait

(5) P <±a , *ob ommof

Le produit P sera la fontftfbn afterWé$:jftl simple des quantités a, b,' b sï^lW

développe cette fonction par i^multeplicatibii al$b brique de ses facteurs binômes^ c^qup.r^^ développement sera équivalent, au s.i^e prè^ au. produit de ces mêmes quantités niqg^ps, ,dans up, certain ordre, et respectivement élevées à des puissances marquées par les exposansô, 1 , 4? 3, ...?*— 1 * Cela posé, concevons qdb dans chaqUeWermc foi» remplace les exposans des lettres par des indices» en écrivant, par exemple,

l.*E PARTIE. C UAP. III.

au lieu du terme ,»»

et feignons par D ce que devient alors le développement du produit P. La quantité D aura évidem- *>ent, tout comme le produit P, la propriété de changer de signe / lorsqu’on échangera entre elles eux des lettres données , par exemple , les deux ettrcs a et b. Il est aisé d’en conclure que la valeur e /) sera rééuite à zéro, si l’on écrit dans tous ses ermes la lettre b à la place de la lettre a , sans lettre en même temps a à la place de b . Il en serait même si l’on écrivait par- tout à la place de la ^tre « I’une des lettres c.... g, h. Par suite, si, le polynôme D, on désigne la somme des termes i111 ont ao pour facteur commun par A0ct0 , la ^me des termes qui renferment le facteur a , par **v,‘ &c eidiii la ^èmme des termes qui ont

vjjj®T 0,1 *0Ete 4ue la

ffttyur de. D ^olt^ donnée par l’équation

A&^4xà1^ti)c...-+.An lan ,,

%^éra,pën‘ écrivant successivement dans le . ond merhhre lUc cette équation les lettres b, c .. îa lettre *,

eW-ô6b A ipèvalù imniovo , )(fA, . ,

j ° £jphifav. . SÊf A!1 l vn l ,

ti»<j aoxHol aob amsaoqzo aol eualqon

. I 0 « A.g.-*-A,g< +A,$;Z".. . -grJ.1',

80 cours d’analyse.

Supposons maintenant qu’on ajoute membre à membre les équations (4)» après avoir multiplié la première par A0 , la seconde, par A, , la troisième par^44 ... la dernière par A^. On verra, dans cette addition, les coefFiciens ,de$ inconnues y, z . .. u, v disparaître (Feux-mémes en vertu des Formules (7), et l’on obtiendra definitivement lequatiou

D x = A „ kQ-+-A , X', ~\-A t X'^-h&c... A n , 1

de laquelle on conclura (B) T — + **-. ^

Comme d’ailleurs des deux quantités

D et A0 ka -+- A , kl A ^ ht . . . . kn t

la première est ce que devient le développement du produit x __ . 0 •+ Jk **, |

lorsque dans ce développement on remplace les ei' posans des lettres par des indices, et la seconde, ce que devient la quantité D , équivalente au second membre de la formule (6), lorsqu’on y substitue 1* lettre X à la lettre a; il en résulte que la valeur de x peut être censée déterminée par l’équation

(A — A)*(c — (h — i)(i — i) ( A— e ) . . . (A — g ( b— a) » ( o— a ) ( c~b )* . . . x-( A— a )( &Zi)(t—c )].. ( h— g) *

pourvu que l’on convienne de développer les deu*

ï." PARTIE. CHAP. III. 81

'ei-mes <|r |â fractiôH f,„i forme le second membre, «e remplacer «St»6 chaque tflfelbùpement les xposans des lettres par des indice*; j„, valeur que «quation (?) prise à la lettre semble fournir pour ^ "comme , n 'étant pas exacte et ne pouvant le rcn.r que par suite des modifications énoncées, ce que nous nommerons une valeur symbolique e cette inconnue.

La méthode qui tmus a conduits à la valeur symja 'que de a- fournirait également celles des autres co„" s Pou* montrer une application de cette "ode, supposons- qu’il s’agisse de résoudre les Rations linéaires

Î a0x b. y tx:koy ax æ + + cx z = Jcx.

s\ iitKr°]UVera Cé\te hypothèse , pour la valeur

(j^) tei-Xf) ( * ~ i) ( ê — * y

UJ} — * ) (&—

*! "utiteo frAv-t- nv

"Ue? *Mite‘ k Taleur véri*»We * la même incon-

sera

ics ^w)' «

rZ ~ leU,'eS b> c - * A * par de.

82 cours d’analyse.

exposons, la valeur symbolique de x donnée paf l'équation (jjJ devient évidemment la valeur vérir table, et coïncide, comme on devait s’y attendre, avec celle que fournit la formule 'Çj’) du §. t .er

J. 3.e Des Fonctions homogènes.

Une fonction de plusieurs variables x, y, z . . • est homogène, lorsque, t désignant une nouvel^ variable indépendante des premières , le changement de x en tx , de y en ty, de z en tz ... fait varie** cette fonction dans le rapport de l’unité à une puis' sanee déterminée de t; et Fexposttrit dè cette puis* sauce est ce qu’on nomme le degré dé la fonction homogène. En d’autres termes, «>*'*«* **

lao.m A : >j ji jp îütiioje Juoq nO / ,Uf ;? moVxue Jiiomo/ièuh/^.

sera une fonction homogène dn'ticgro-a par-rapp"''* aux variables i,y, z taiy ti lfun -at* jqttel quersoM' liüoo v s. . \wl aoldam /.* fff

(0 /(<•*•> % fix, y ’

Ainsi, par exemple, ip sh no^o*0

x: /(xÿ)Tn^^;‘,evir,îl

sont trois fonctions homogènes des variables x et P la première du secondNdegré , la deuxième du pr^ mier degré, et la troisième d’un degré nul. ^ faction entière des variables de termes tellement choisis, que la somme des 6

J" PARTIE. CHAP. I^t. 83

i’osans (les diverses variables soit la même dans tous termes, est évidemment b, Mitogène.

S', dans la formule (1), ou fait t=z 4-, on en «onclura ' *

(2) /(.*, y, z. ..) = **/( t> ±} Il

Cette dernière équation établit une propriété des ',/?Ct*ons h^ogenes qu’on peut énoncer de îa ma- Çe Suivante :

Lorsqu’une fonction de plusieurs variables x, CS/' homoël’uc > clIe équivaut au produit i((i UnC (V,clc0)Uluc variables eleree à une cerpuissance par une fonction des rapports entre es mêmes variables ppiftÿijupQ dcujç à deux.

JVcut aiouter (lue. cettte propriété appartient veinent aux fonctions homogènes. Et , en V supposons f (ikptyp a, n uu. .) équivalente au les ^ 'unie fonction des rapports entre

ç* Variab,cs frÿif-L-r • «^binées deux à deux. tu*1*16 ™ l)0U,Ta exprimer tous ces rapports au ^ yen de ceux qui ont .r pour dénominateur, en Crivant par temple, au lieu de

Cn? ®,te que la va,eur dè 'À*; y.*-- )

e équation de la forme

84 cours d’analyse.

Cette équation devra subsister , quelles que soient les valeurs de x, y, }z ./V; et, si l’on y remplace

x par tx, y par ty , z par tz . . . ,

elle deviendra

f{tx, ty, tz ...) = t‘.x* cp(±, v ...)•

Par suite , on aura , quel que soit t, dans l’hypothèse admise,

f[tx> ty , tz . . • ) — ** f(x , y, z ...); ou, en d’autres termes, 9ru,b noiionbl suuk,

mï om/h)uo o* , moi oujj'h

sera une fonction Mnogcfte 'du degré a par rap'

port aux VJÉteft «V fifV' °h

oiTfd h , 9iilr-.fi - Jze o , e9iéifn9Ïhj3(T runlu*

ob eidmon nisi-m nu isq DOJïhug al uo odiuoo ^ -dni onréb nulueèi oxfà Juoq noiJeoup etioD .atnioq,

- "l 11 -iorViriBfn oh »)in

-TOfebnB rnàim marftâbm m bcJbUfrpahrff êmon*/ 2ub üJitMtaifu inoo «i fi te ,fiiOê)o noitKfinit si sîuojb no sènoiorb noiîaopl bI ob 89iéiluDi)TJï<J jisuno tio& «oitonol eiJeo bnp oéaoiqxa noitibno^ -ob éocnisî ë$è 9b oïdmon oi oup tat oigob au’b i* tiuolfix *9b oïdmoa ub kgb Jfftâtt&eiaèiq 9na9Î? j