I.*F PARTIE. CHAP. IV

ï-nfin , si elles se réduisent toutes à zéro , à l’ex- Ception de la dernière on ‘trouvera

réunissant les diverses valeur^ de u correspondantes aux diverses hypothèses qu’on vient de faire, 0,1 obtiendra pour somme un polynôme en x du d°gré' n — i , qui aura évidemment la propriété de Sg réduire à û0 pour x—xox à üi poiir Xt=±.rt ,

^ . à Un t pour x—xn t. Ce polynôme sera

d°nc la valeur générale de u qui résout la quesh°n proposée, en sorte que cette valeur générale Se trouvera déterminée par la formule

-, rr (* — X, )(* — *,)•.• •

° (Xo-X.) ( j:0-Xa) .

(Xo — x„t)

..... .. O.— xo)(x— «*»)

■ •** ■{’iv 1

• ’V'tfe™0/! •“ * *

(*“ xo) (x —

. (x — xw j)

(x^.-^-J.Cx^-x,)..

pourrait déduire directement la même formule de la méthode que nous avons employée ci-dessus (chap. m, 5. i ) pour résoudre dans un cas parti- Gulior des équations linéaires à plusieurs variables ; Lv.°yêz à ce sYqct la note V ].

Si, en dési^iïaht par a une quantité constante, remplace dans la formule’ (i) la fonction u par a fonction u — a , qui sera évidemment de même ^eSl'ô , et Fes valeurs particulières de u par les vaei*s particulières de u — a , on obtiendra Icquation

cours d’analyse.

(/l\ U — (l zrz (u — fl\ ~ - - — — - - — — — ■■ — - «

^ ' (.«<,-Mxl)(x0>~»jrA'>,...(x0— xn t)

[ ' ' Cx.-x J(^-xJ...Cx,~x)

~*-0 - Çj — X^,)

(^o — ^,)(xo— xj...(x0— Xr,)

( x*-.»fc) (g ! — jg. );....( X — X.)

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de faire passer Une droite par deux points donnés Désignons par x0 , 7ja les coordonnées rectangulaires du premier point, par xit iji celles du second, et

et, en comparant cette équation à la formule (4)» on trouvera la suivante

?ol

.(«■-üt-' *fàA*n^C-xù; «

Cette dernière équation est identique , et subsiste quel que soit x.

Les équations (l) et (2) peuvent servir l’une et l’autre à résoudre , pour les fonctions entières , le problème de l’interpolation ; mais il convient eri général de préférer pour cet objet l’équation (s\, attendu qn’011 peut y faire dispàntitre l’un (tes tèrmeS du second membre, en prenant la constante « équivalente à l’une des quantités ... (Ui ^

i.*r Partie, c'ïiap. iv. Ol

Par y l’ordonnée varia We de la droite. En rempla- Çant dans la formule (2) la lettre u par la lettre y, Pu,s faisant n=£ 1 , et a=yQ} on trouvera pour l’équation de la droite

Supposons, en second lieu, qu’il s’agisse de faire Passer par trois points donnés une parabole dont aXe soit parallèle à l’axe des y. Nommons

oc t et yt , xx et y % , .v} et y5

*°s coordonnées rectangulaires des trois points. Soit 0 plus y l’ordonnée variable de la parabole. En Remplaçant toujours, dans la formule (2), la lettre u par la lettre y , puis faisant n = 2, et a~yx , on Couvera pour le quation de la parabole

' y -ly= (y i 1 '

^ro' J lirvrym to gj 1,) ■

* • " ‘ » t / * * ; arioii.'jnoi^lsl 4v\ 0 cf* «Tifti bfcèT * 1 ) *

°u> Ce qui revient. au Luémé,

Lorsque 'dUHi [équation ( 1 ) on prend u=zxm, désignant un nombre entier inférieur à n)\ les Va,eurs particulières de U représentées par

4e réduisent évidemment à ^ "fil) ff »

92 COURS d’analyse.

On a donc, pour les valeurs entières de m qui ne surpassent pas "n- " 900 ‘ï9ury,fim'VI tmri

T»- rW (r-x,)(x-„)...(x-V,)

Cette dernière formule comprend comme cas particulier l équation (3). De plus, si Ion observe que chaque puissance de x , et en particulier la puissance xn~\ doit nécessairement avoir le même coefficient dans les deux membres de la formule (j)i on trouvera,