CHAPITRE V

Drtr nnination des Fonctions continues d’une seule v (n iable propres a vérifier certaines conditions.

l-lt Recherche d’une Fonction continue formée de telle manière (pie deux semblables Fonctions de quantités variables , étant ajoutées ou multipliées entre elles , donnent pour somme ou pour produit une Fonction semblable de la somme ou du produit de des variables.

Lorsque, au lieu de fonctions entières, on confère des fonctions quelconques, dont on laisse la farine entièrement arbitraire; on ne peut plus réussir H ^ déterminer d’après nu certain nombre cto? vatatirs particulières^ qtmlqMeqpartd que soit ce même èornbre ; mais on y parvient quelquefois dans le cas 0l> l’on suppose connues certaines propriétés géïiératas <fe ces fonctions. Par exemple , une fonction c°ntinuo do :dî>J représentée par Cf) (.#)*, peut être complètement déterminée, lorsqu’elle est assujettie vérifier, pour toutes les valeurs possibles des vanabfcs et y , Tune des équations

(') cP(-t'-|-y) = «K •*■)-*- <?('/)>

011 bien , pour toutes les valeurs réelles et positives

104 couhs d’analyse.

des mêmes variables,, iuu&.^e^ équations suivantes

La. résolution de ces quatre équations présente q&ftrc problèmes différons que nous allons traiter l’un après i’autre.

i.er Problème. Déterminer la fonction *(*) , de manière qu’elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x, et que Von ait pour toutes les valeurs réelles des variables x et y

.(,1) <p(x^ny)j r,f\

Solution. Si dans I équation (i) on remplace successivement y par y-*-z, z jiàr z + ü,'&. c. on en tirera

^ C* y u ■*" ‘îif!0‘jq)no tm:n';>rcrro ir

= <?(■*)+<* (y) -+■ <? iJ: ; , ^

quel que soit le nombre des variables x, y, z, u, &c. • sî> 4p, p!us.* °n .désigqq par m çeujême nombre, pal* ce une constante positive, et que l’on lasse f

x = y = z=zu . == et ,

la formule que ion vient de trouver deviendra- ^

Cp ( m cl) = m <J> (et)1/' 110 n° r ^ ^

Pour étendre cette dernière équation au cas où 1* nombre entier m se trouve remplacé |>ar un nombre1