I."-- PARTIE. CH4B. VI

'• vA\ o\ ^\vk S < VI OU ( v \v; x

^venant à croître àü-delà dé toute limite assignable, tes plus grandes valeurs do (//..) no pourront s'approcher indéfiniment de m limite k, sans friur par ®tre constamment inférieures à U. Par suite , if sera possible d’attribuer au nombre entier n une valeur >;a&se£ considérable, pour que, n obtenant cette même Yftlpur ou une valeur plus grande encore , ôn ait instamment

( u„ ) " < U, un < Un .

H en- résulte que les termes de la série

boiront par être toujours inférieurs aux termes cor- **spondauè de, ia progression géométrique

, , &lpq7*?q, flo^«)i)ÜjBqf^0£®F^ , <Slc. . . ; miog ta db no olnos'isvnpo tgo ofb . h

lj comme cette progression est convergente [à r vinayr y* omon , v ^

c^H*e de U < 1^03 peijt de^ remarejue précédente

inclure à fortiori la convergence de ta sérié (1). Supposons ien second lieu , k> i ; et plaçons * entre les deux nombres i et h un troisietne ,u»nd>re U , en sotie qu’on ait

' 1 n f croftée au-delà de totite limite , les plus

bandes valeurs de (//„)'', en sappppcliant indéfî- ^^ent de kf finiront par devenir supérieures à U

134 COURS d’analyse.

On pourra donc satisfaire & la condition

; ÏVVnU StO \^vsç /ÂÔ\ ÿ/riwft «tafyu't y 1»

(«.)” > *Sq,Bax9^ éno

ou , ce qui revient an même , à fa suivante

par des valeurs de n aussi considérables que l’ofl voudra; et par suite, on trouvera dans la série

ua, ut , ux, .. unf un^, u„+lJ &c -

un nombre indéfini de termes supérieurs aux terme» correspondais de la progression géométrique

i, Uy u\ ...

Comme cette progression est divergente ( à cau^ de U> i ) , et qu,’en çpnséquencq ses différens term^ croissent à l'infini, la remar^ue^c^ue l’on vient faire suffira pour établir lacii^er^encejde (a sérié (0* Dans un grarnl n^mbre d^c.reOTsiances, on M déterminer la valeur de la quantité k, à laide d théorème /\.e j chap. II, 5- 3/^Ëli . fcfiet , en vei'lU de ce théorème, toutes les fois que le rapport convergera vers une limite fixe., qçtye fimife set* précisément la valeur de k. On peut donc énon^1 la proposition suivante.

2.' Théorème. Sif pour des valeurs çrqissci^dfi de n, le rapport

converge vers une limite fixe h , la série (i)