I. RE PÀR‘^1 Ef C H A J? . , V I

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divergente toutes les fois que fou aura k> i. Concev ons, par exemple} que l’on Considère ïa série

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e* par conséquent la série sera convergente, ce que '°n savait déjà.

Le premier des deüx théorèmes qu’ôh vient iKëtabli r ne laisse d'incertitude srçr la convergence ou ^divergence d’une série dont tous les termes sont positifs , que dans le cas partie iWféMoit là qiïÜrttité ^présentée par /• devient égide à l’unité. Dans ce particulier, Wn’esf pas tpu|dmt^'i^èi|e de décider Ij. question .T ouîc&ljs ,' Vous IffenS démontrer ici fetx nouvelles pronositiqnï ff’Mfilîe desquelles ou l)(<it souven^j parvenir.

.T . Théorème. Lorsqiiedani la sériel Y) Ifiüque t^jnc es/ rnfèrieüP a celui *3ÎH°tc

t lÙ èÛlvdntc °«ono anob iuoq nO

v2) uQ , 7- us ,. 4 w3 » 8 u? , 1 6 ui5 , <kc...

*°tiY éh ’ même ' xtèifàp$ c'dnvérgcrâes ou divergentes.

ÏÏÙMONSTRATiON. Supposons d’abord la séné '*) Convergente, et désignons sa somme par s. On

136 cjdurs d’analyse

"<1 v=t=' fi] iuoq iS ’&ŸiW

(s) anse xr73ljpn<t'jF)ijp^lijnj8ijp anu jnflngreob w

et par suite , la somme des termes de la série (2)» pris en tel nombre que Ton voudra , sera inférieure à

tl0 -f- 2M, -T" 2Mj -+■ 2Mj*+~ 21/ ^ H- &C...; P= 2$ w*-

Il en résulte que la série (2) sera convergente.

Supposons, en second lieu, fa série (1) dhei gente. La somme de ses termes pris eh très-grati nombre finira par surpasser toute limite assignable»

et , comme on aura

"i- ' 1 : ’ ‘ . « 1 vtV

8 «7>M7 + M8 + «, + Wio -+■ M.. •+■ “»* p" “** ’

on devra conclure que la somme des quantités

?/c % 27/, , 4«3 t $ //7 , fcéataWUtt ^

prises en très -grand nombre finit ellé^m^p^ devenir supérieure à toute quantité donnée. La séi’ie (2 ) sera donc alors divergente , conformément aU théorème énoncé.