I.“: PARTIE. €HAP. VI
pi'psente lorsque
,esplus gralRles- valeurs de (/„}k Convergent, pour e^’ valeurs croif&atfrtés de n , Vers une limite süpél*^rè à- Wlfiftfe Avt contraire , lorsque cëtte lirUiie ^'vient inférieure à l’unité, la série (2) est toujours c°nvergente. O11 peut, en conséquence, énoncer le ^corème suivant :
‘ l .” Théorème. Soit j>n la valeur numérique fin te^ic général ùn de' la série (i) ; et designotw par limite vers laquelle convergent , tandis que n Croît indéfiniment , les plus grandes valeurs de
l ^pression (i„) ”• La série (1) sera convergente , *l‘£on a k< 1 , et divergente , si l’on a k> 1.
Lorsque la fraction Pnf' , tf^fta-dire , la valeur
^^tnérique du rapport :-*--* * , coiiVergera vers une
8ft^^t^Pl!Wite)^eA , '"CH ! du 4 e ‘tfied-
^rïîe [ehap. Il, J. 3/] , la valeur cherchée de k.
. eH%remajrque pondit à la proposition que je vais
ecrire.
Théorème. Si, pour des valeurs croissantes la valeur numérique du rapport
Un
^verge vers une limite fixe k, la série ( 1 ) sera j^PrgçntCy tout es les fois que l'on aura k <, 1 , et lLcrgcntc , toutes les fois que l’on aura /-> 1 . exemple, si l’on considère la série
COURS d’analyse-
on trouvera
6lc. . . i
d’où il résulte que la série sera convergente.
Le premier des deux théorèmes qu’on vient dé' tablir ne laisse d’incertitude sur la convergence ou la divergence d’une série que dans le cas particule où la quantité représentée par k devient égate *
l’unité. Dans ce cas particulier* on peut quelque^15
constater la convergence de la série proposée, en s’assurant que les valeurs numériques de différeus termes forment une série convergente, *L)1 en ayant égard au théorème suivant.
3.c Théorème. Si flans la série (i) la valeur r11 mèïique du terme général un décroît constant^ et iadejimmnt, pm? des valeurs croissantes de *' si Je jifas 'lçé dijferem termes sontjalternqtivev^ positifs et convergente-
Considéi pus ^ par exemple , la série V y ’ i 'U> J?» H ; dg % &
La somme des tèmiès dont le r SSÿ surpasse ** on les suppose pris en nombre" égal à m, sera
ZÏZ ( 1 - - 1 H - - — 1 -H &C. . . ifc — - ■")
\ n+i «*+-2 rH- 3 n-t-4 «4>w /
Or la valeur numérique, dç eette somme, sav0ir’
i. Partie, chap. vi.
^rj &c: . . . =fc — f— '
,H- , f/+2 ■*" ( »-Ki) ( M+> ~ H-&.C. . . ,
etaiit évidemment comprise entre
décroîtra indéfiniment pour des valeurs croissantes n * qued que soit m, ce qui suffit pouf* établir «la convergence de la série proposée. Les mêmes rai- ^onnemens peuventévidemment s’appliquer à tontes es séries de ce genre. Je ettorai , entre autres , la vivante ,
v Hodle, en vertu du théorème 3/, restera cohver- ^ente pour toutes les valeurs ^ positives de y*.
daift la sérte^) Oh s\jpptà\tle le signe — dejV ant chacun des. termes de > rang pair , on obtiendra ^.S<:Tie (3)du §. 2/, qui est divergente toutes les Jïsquél’o» s'upp84e>t±=M oü ^<1 . Par suite, pour ^ns,or,»c*r une série convergente en série diver- If**?.' ou réciproquement, il suffit quelquefois de ianuCT les signes de certains termes. Au reste, cette remarque est uniquement applicable aux séries Sque^es quantité désignée par k dans le théorème se réduit à ‘l’unité.
146 cours d’analyse.
Étant donnée une série convergente dont tous les termes sont positifs, on ne peut qu’augmenter la convergence en diminuant les valeurs numériques de ces mêmes termes , et changeant Tes signes de quelques-uns. Il est bon d’observer qu’on produira ce double effet, si l’on multiplie chaque terme par un sinus ou par un cosinus ; et cette observation suffit pour établir la proposition suivante.
