I." PARTIE. CHAP. VI. \.{J

Cunp renferme des termes positifs et des termes négatifs, on démontrera facilement à leur égard les wieorèmes 5.' et 6? du second paragraphe , ainsi ^Uon va le faire voir.

Théorème. Soient

“H 3nivjT mjp$iK> ‘jiRjiTrijiij au m . jjlc, ddiiofc

, K„, U, Ui, - &C.

) Qiimv'iua nor ti?fHi»vî ■ ■« «dd.»)*» 'tiuw» iuI u

( vo> bgf vx , . ... V„, &C. ...,

deux séries convergentes qui aient respectivement pour sommes s et s $ t

(S) U0 -i-v„ , U[-t-Vl , Ui-+-l\ , . . . £rC

S€ra une nouvelle séné convergente, qui aura pour sommp s + s','}

Démonstration. Si l’on fait

eu, s « ^ y* ui ux ■+* • . . -+- u

S n = Vo -+■ Vt H“ v„^r ; 4<

* n Ç^v^^rontirespoetivéhient, pour des va- CUrs croissantes de n, vers les limites s et s'. Par ^ite, mp c’est-à-dire, la somme des n premiers ^rjnes de là série .^8) cdnvprgera vere la limite ^ ; ce qui suffit pour établir le théorème énoncé.

\ ^TlIÉ0RÈP* Les mémes choses étant posées je dans le théorème précédent, si chacune des <[:JS ft) reste convergente, lorsqu'on réduit ses djerens termes à leurs valeurs numériques,

(p S vk» K, K vx-4~ul Vl+ux Vo , . . . .

( ... Uov^tf V ,l l H*- ... 4-îtnit'vi-^4tn V#J ...

148 cours d’analyse.

sera une nouvelle série convergente , qui aura pour

somme ss. 4

Démonstration. Soient toujours s « sommes des n premiers termes des deux séries (7)» et désignons en outre par s" „ la somme des n premiers termes de la série (9»). On tréuvera

n,. 4* j — K»i " u„, n„, -h v„-i ll«-' .

fc >mi ' ■’ • : O™*» O y

De plus , le théorème 6.c ayant été démontré dans je. second paragraphe pour le cas où les séries (7) ne renferment que des termes positifs, il en résulte que dans cette hypothèse chacune des quantités snsn, s'„ converge^ pour des valeurs croissantes dfe », ver * la limite ss, et, par suite, la diiVérc me — s «<

ou ce qui revient au même , là sdilittiè 'm

jfo uip { , 9tni? *ib4 .o*m otuml al *>ne>m

*Ç/V * ,>è vjHjljçnq, ol ammpâ.'UJPCga'ip^ 1

'"•ol'clvonl maintenant que, les termes jfiS&gj

(7) é“"‘ ie» :*• rsi,ife ct lcs autirs ’ "" 1 L

signe rcspect.vement par

\f9> /!<* fl** Iqm >/-

les valeurs numériques de* ces différens termes. SUP posons de plus, conformément à l’énoncé du tbe° rcme , que les séries ( t o) , ct>iiip<»€-cs de ces tm»n>

i.“ partie, chap. vi. 149

va|eurs numériques , soient toutes deux convergentes. En vertu de la remarque qu’on vient de faire ,

la somme ■ uiopjo) .Jri?idR

g'Jt) ‘j/nfrirtë nr v.

convergera, pour des valeurs croissantes de ^ vers la limite zéro : et, comme la valeur numérique de cette somme sera évidemment supérieure à celte de ^Suivante

*l ,cn résulte que cette dernière, ou, ce qui revient au meme , 1^ ( cou verger a ellejuèmç vers la limite zéro. Par suite, ss' , qui est la ^uiite du $era énatfè celle do/*n. Eh

( autres -terpiÇ» rd*V sé^ie ^^sçra, convergente , et aura pour somme le produit s-s'.

§"U01"™t ne

mwknW^l0^-

;tre apres la réduction de cha- (llle terme à sa valeur numérique. Concevons , par exempla, que ÿôur. chacune des séries (7) -on prenne ,a suivante . v.

* 1 nononà'f % Jfl^ni^ffndtnoô anfo*?!

a &éric (g) dey^ndra