I.“ PARTIE. CHAP. VI

Démonstration. Pour multiplier ïa somme la série (i) par le polynôme (17), il suffira de j1 Multiplier successivement par les diflerens termes ce polynôme. O11 aura donc

( A-xm-+- lxm~l . ,-\r px H- qÿ ( «0-+- o,jt -+- a^x1 -l- &c. . .) 5=5 I ( «o -t- a,x -+- a/* H- &c...) +px («„ + a,x + fljx' + &c. . .) H-fcc... .

^ lxm~' (a0+alx^-a1xt+...) + kxm (aa+ atx+ a^x.*- f &c.. .)

^°uune on a de plus , pour des valeurs entières Quelconques de n,

** 7«o-t-îa,^-t-9o2.x1-H .

^ll en conclura, en faisant croître n indéfiniment , et passant aux limites ,

^ ( ao-4-oIx-f-a1x.î-4-&c . ) = qa0-+- qalx-\-qaix*-\-lic.. . s1

trouvera de même

(a0-ï-alx-+-aix1-+-}kc.. . .) ==/>a0x-h-/>a1x*-|-^m2x3H-&c. . . ,

* 1 ( a0-+-a,j:+a1Æî+&c. . .) = la0xm~l+lalxm-\-lalxm+t- ,

**’"(«o+a,x+a1.rIH-&c . ) = A:a0xm-+-AflIxm+,+Aa2xm-'-a-f&c...

Iqu ajoute ces dernières équations, et qu’en foraUt la somme des seconds membres on réunisse les eMciens des puissances semblables de la variable * 0,1 obtiendra précisément la formule (18). f Concevons maintenant que dans la série (1) on e varier la valeur de .c par degrés insensibles. T°M. 1 . L

16*2 COURS d’analyse.

Tant que la série restera convergente-, c’est-à-dir<?' tant que la valeur de x demeurera comprise enti* les limites

la somme de la série sera [ en vertu ’ du i .er th e<r rème, §. i] une fonction continue de la variable •*' Soit q> ( x ) cette fonction continue. L’équation

(jr) = aQ -+- axx -h axx 1 -+- &ç .

subsistera pour toutes les valeurs de x renfermée* entre les limites — , -h-jT ce que nous inJl' querons, en écrivant ces limites à côté de la séfle * comme on le voit ici

Lorsque la série est supposée connue , on pcl‘l quelquefois en déduire la valeur de la fonction sous forme finie ; et c’est-Ià ce qu’on appelle sotn#6' la série. Mais le plus souvent la fonction <p (x) c§ donnée , et Ton se propose de revenir de cette foIlC tion à la série , ou, en d’autres termes , de dévelopf J la fonction en série convergente ordonnée sui^1 les puissances ascendantes et entières de la varia” x. Il est facile d’établir à ce sujet la proposition <luf je vais énoncer.

6.e Théorème. Une fonction continue de la ^ viable x ne peut être développée que d’une $cl1^ manière en série convergente ordonnée suivant