I.R£ PARTIE. CHAP. VI
Puissances ascendantes et entières de cette valable*
Démonstration. En effet, supposons qu’on a,t développé par deux méthodes différentes la fonc-
ttan . ct soient
a0 , atx , alx%...anxn, &c.
ba y btx , bz x . . . bn xn , &c. . . ,
es deux dévcîoppcmens , c’est-à-dire, deux séries ‘tant chacune, étant convergente pour des valeurs (ta æ différentes de zéro , ait pour somme , tant ^elle demeure convergente, la fonction Q(x). Ces °ux séries étant constamment convergentes pour e très-petites valeurs numériques de x , on aura, P<Hir de semblables valeurs,
= b0-*-b ^-t-b^x'-t-Si c...
Comme, en faisant évanouir x , on tire de Fé- ^tion précédente
ao = bo ,
^ °n résulte qu’on peut la réduire généralement à «,.r-+-a4 x* -*-kc... = b, x-hbtxx c... ?
On
» ce qui revient au même , à
^ 1 °n multiplie par les deux membres de cette eruière équation , on obtiendra la suivante
164 cours d’analyse.
qui devra encore subsister pour de très-petites valeurs numériques de la variable x , et de laquelle on conclura, en posant x = 0 ,
at = b’I
En continuant de même, on ferait voir que les con*tantes aoi a\, ux, &c... sont respectivement égale* , aux constantes b0, btl b\, &c... ; d’où il suit quC les deux' développcmens de la fonction <p (x) son* identiques.
Le calcul différentiel fournit des méthodes trèsexpéditives pour développer les fonctions en séries- Nous exposerons plus tard ces méthodes ; et non5 nous bornerons pour l’instant à faire connaître, a vef? le développement de la fonction (i dafl5
laquelle /x désigne une quantité quelconque, deu* autres déveioppemens que l’on rardlne facilemd1* au premier , savoir , ceux des fonctions
Ax et L ( i -+-x),
A désignant une constante positive et L la carac' téristique des logarithmes dans un système chois1 11 volonté. En conséquence , nous allons résoudre l’üïl après l’autre les trois problèmes qui suivent.
l.er Problème. Développer , lorsque cela se peut , la fonction
en série convergente ordonnée suivant les pîllS sances ascendantes et entières de la variable s*
