I."‘ PARTIE. CHAP. VI

Cette dernière équation devant subsister, quelque petite que soit la valeur numérique de ce, si l’on désigne à l’ordinaire , par l’abréviation lim. placée *jevant une expression qui renferme la variable ce, la Wite vers laquelle converge cette expression, tandis 4ue la valeur numérique de ce décroît indéfiniment, °n trouvera , en passant aux limites ,

t v ( lira. ( i -i-duc) • =i-t- — ■+• 777 ■+* &c-..

) jx^-oof

\ . \ x = + oo

reste à chercher la limite de ( 1 -tr-ceo:) « . Or, en

Premier lieu , on tirera de la formule précédente Uni. ( 1 -h oe) * — 1 h- — -4 — - — 1 - - •+■ &c... >

011 > en d’autres termes ,

(22) Uni. ( 1 •+■ cl) • = e ,

e désignant la base des logarithmes népériens [voy.

§• i.er, équation (6)}. On en conclura immédiateiïient

Uni. ( 1 -+- (Ljc) m* = e ,

** par suite

lim. ( 1 -+- et x) * = lim. [( 1 cljc) ‘ x ] = e .

^ maintenant on remet la valeur de lim. (i-t-our) *(ns 1 équation (21), 011 obtiendra la suivante

r= — CO] r = ■+■ OO |

168 cours d’analyse.

On pourrait arriver directement à i équation (23)’ en observant que la série

est convergente pour toutes les valeurs possibles ïa variable x , et cherchant la fonction de x qul représente la somme de cette même série. En effet» -soit <p(.r) la somme de la série (6) qui a pour terme général

<p (y) sera la somme de la série qui a pour terril général

et [en vertu du 6.c théorème, §. 3] le produit de ce* deux sommes sera la somme d’une nouvelle sér^ qui aura pour terme général

x* xn~' y x yn~l

( yn (* + y)"

Ce produit sera donc égal à cp (x-±-ÿ) ; et par sui^ 1 si l’on fait

Cp (x) = 1 -+■ ~

la fonction £p [x) vérifiera i équation