CHAPITRE VII

^cs Expressions imaginaires et de leurs Modules.

^ l-,r Considérations générales sur les Expre ,

imaginaires.

En analyse, on appelle expression symbolique °u symbole toute combinaison de signes algébriques 4ui ne signifie rien par elle-même, ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle quelle doit Naturellement avoir. On nomme de même équations yniboliques toutes celles qui , prises à la lettre et Niterprétées d’après les conventions généralement *Hlics , sont inexactes ou n’ont pas de sens , mais ^quelles on peut déduire des résultats exacts , en Codifiant et altérant selon des règles fixes ou ces Rations elles -mêmes, ou les symboles quelles Enferment. L’emploi des expressions ou équations syniboliques est souvent un moyen de simplifier les c*lculs, et d’écrire sous une forme abrégée des ré- Subats assez compliqués en apparence. C’est ce °n a déjà vu dans le second paragraphe du troi- S,e,ïle chapitre , où la formule (9) fournit une valeur Symbolique très-simple de l’inconnue x assujettie à crifier Jes équations (4). Parmi les expressions ou Stations symboliques dont la considération est de

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quelque importance en analyse, on doit sur-toid distinguer celles que l’on a nommées imaginaire** Nous allons montrer comment Ton peut être condujt à en faire usage.

On sait que les sinus et cosinus de l’arc sont donnés en fonction des sinus et cosinus de* arcs a ci b par les formules

cos. ( a-Y-b ) = cos. a , cos. b — sin. a . sin. b f sin. (a-Y-b') = sin. a . cos. b -Y- sin. b . cos.

Or , sans prendre la peine de retenir ces formula» on a un moyen fort simple de les retrouver à v0' fonté. Il suflit , en effet , d’avoir égard à la remarquC suivante.

Supposons que l’on multiplie l’une par l’autre 1e* deux expressions symboliques

cos, a h- ÿ'—i sin. a ,

cos. b -h- j/— i sin. b ,

en opérant d’après les règles connues de la nu>^ plication algébrique , comme si j/— 7 était ufle quantité réelle dont le carré fût égal à — i . produit obtenu se composera de deux parties , l*un<7 toute réelle , l’autre ayant pour facteur « ; e* la partie réelle fournira la valeur de cos. tandis que le coefficient /-T fournira celle & sin. {a-*- b). Pour constater cette remarque, écrit la formule