I.” PA lî TI K. CHAP. Vil

1 .er 1 HÉORÈME. Si l'on multiplie l’un par l’ autre (leu £, nombres entiers dont chacun soit la somme vf; df'u.r carres, le produit sera encore une somflie ? deux carrés.

^MONSTRATION. Soient

r; ,* . ' ' loJD ' *v SkJ<j J{< -JOj . . : : : ' i ,lt) Cî T.

CL — H Ct -f-

fs deux nombres' entiers dont îî s agit , «,*, et", désignant des carrés parfaits* Gu aura évidesa? les deux équations

(«4-^ /ZT) = ■4-(ag',H-a,é’)./Z7,

( «-£ yf—, ) = « a'— tC' -3 (* ?'+«'£ ) /=7 !

St"’' ; • •

^uljipljant celles-ci membre à membre , on 0«tiendra la suivante

(p,1 2) = [clcl1— ££ y -h <*. 1 .

j * ^>n échange entre elles dans cette dernière les

ïïlfes cl1 et V J on trouvera

uwa*noa xo »T. ?>b ammi « ü J .

®y » donc en général deux manières de décom- **?* en deux carrés le produit de deux nombres Ai‘<TS dont chacuB esHa somme de deux carrés. ns|, par exemple, on tire des équations (7) et (8)

'v teck =f 41 ^ 7* = ■*“-«- 8*.

n v°*t par ces considérations que l’emplor des ex-

18*2 COURS D ANALYSK.

pressions imaginaires peut être d’une grande utilité» non-seulement dans l’algèbre ordinaire, mais encore dâns la théorie des nombres.

Quelquefois on représente une expression iofia ginaire par une seule lettre. C’est un artifice qur augmente les ressources de l’analyse , et dont no^5 ferons usage clans ce qui va suivre.

§. 2.' Sur les Modules des Expressions imaginaire*’ et sur les Expressions réduites.

Une propriété remarquable de toute expressif imaginaire a.-*- £/-■ , cest de pouvoir se met»? sous la forme

p ('cos. 9 -t- Y~i sin. 9) ,

p désignant une quantité positive , et 9 un arc En effet, si Ton pose l’équation symbolique

(l) cL -+-G j/— i = p(oos. 9 ■+• 1 sin. 9) >

ou, ce qui revient au même, les deux équatio11 réelles

on en tirera

et* -+- -—ÿ' (cos.1 y -+• sin.* 0 J — p »

!.<*,=/ cos. 0 , G = p sin. 0 ,