I." PARTIE CHAP. VII

ô =tr :±: ( 2 X I ) 7T.

-^insi te moïfule d’iitie quantité réelle et n’est autre cWse que sa valeur numérique y,(cLx)\ et l’expression réduite qui correspond à une semblable quantité ‘é#L *'• :-h ï ou — i , savoir,

& 1 - CUS. ( ;h 2 X TT) H- /-■* sin. (rir 2 X TT ) ,

Jusqu’il s’agit d’une quantité positive , et

*7 I c >s. (-V1-- 2 k fl- 1 .'rr )-*-/-> sûi:(i 2 X-Hi.7r),

lorsqu’il s’agit d’une quantité négative.

Toute expression imaginaire qui a zéro pour ino- ^ul© se réduit çüe-mème à zéro, puisque ses deux 'tonnes évanouissent. Réciproquement, comme le <et le sinus d’un arc ne deviennent jamais ,v,ds en méiné temps , il en résulte qu’une expression ^îaginaire ne peut sc réduire à zéro , qu’autaut que So,i module s’évanouit.

Toute expression imaginaire qui a l unité pour Module est nécessairement une expression réduite, ‘^ûisi, par exemple ,

cos. fl H- 1/— i sin. fl f cos. fl — ■j/— i sin. fl ,

, qos. Umfrfôtrpj sin. fl , — cos. fl i sin. fl ,

s°ut quatre expressions réduites conjuguées deux à Effectivement , pour tirer ces quatre expresde la formule

cas. 6 yf — < sin. ô ,

180 cours d’analyse

il suffira de poser successivement

ô = 2 A 7r <2 , 0 = dr 2 A' 7r — a ,

6 = db(2 A-t-l)7T §—±z(ïk-Jr-\)'7C—(l,

k désignant un nombre entier quelconque.

Les calculs relatifs aux expressions imaginaire* pouvant être simplifiés par la considération de* expressions réduites, il importe de faire connaître les principales propriétés de ces dernières. Ces propriétés sont comprises dans les théorèmes que je vais énoncer.

2. e Théorème. Pour multiplier l'une par 1 autre deux expressions réduites

cos. 0 y/— i sin. 0 , cos. 0* -H )/— i sin. 0^ ,

il suffit d'ajouter les arcs 9 et 9 ' qui leur corrtS' pondent.

Démonstration. On a, en effet,

(cos. 0 -+- y'—» sin. «)( cos. 0' -H sin 0' )

= cos. (0 0' ) -+- y/— i sin. (0 *4- 0' ).

Corollaire. Si dans la formule précédente on fait 0' = — 0 on trouvera , comme çji devait s/ attendre ,

(6) (cos. 0H- yf" 1 sin. 0) (cos. 0 — y'—» sin. 0) ^

3. e Théorème. Pour multiplier les unes par Ie* autres plusieurs expressions réduites

Cos.