CHAPITRE II

Des Quantités infiniment petites ou infiniment grandes , et de la continuité des Fonctions. Valeurs singulières des Fonctions dans Quelques cas particuliers.

J. l.*r Des Quantités infiniment petites et infiniment

grandes.

On dit qu’une quantité variable devient infiniment petite , lorsque sa valeur numérique décroît indéfiniment de manière à converger vers la limite zéro. II est bon de remarquer à ce sujet qu’on ne doit pas confondre un décroissement constant avec un décroissement indéfini. La surface d’un polygone régulier circonscrit à un cercle donné décroît constamment, à mesure que le nombre des côtés augmente, mais non pas indéfiniment , puisqu’elle a pour limite la surface du cercle. De même encore, une variable, qui n’admettrait pour valeurs successives que les différons termes de la suite

prolongée à l'infini , décroîtrait constamment , mais non pas indéfiniment, puisque ses valeurs successives convergeraient vers la limite 1. Au contraire.

une variable , qui n’aurait pour valeurs successives que les différons termes de la suite

prolongée à l’infini , ne décroîtrait pas constamment, puisque la différence entre deux termes consécutifs de cette suite est alternativement positive et négative ; et néanmoins elle décroîtrait indéfiniment , puisque sa valeur finirait par s’abaisser au-dessous de tout nombre donné.

On dit qu’une quantité variable devient infini ment grande , lorsque sa valeur numérique croît indéfiniment de manière à converger vers la limite oo. Il est encore essentiel d’observer ici qu’on ne doit pas confondre une variable qui croît indéfiniment avec une variable qui croit constamment. La surface d’un polygone régulier inscrit à un cercle donné croit constamment, mais non pas indéfiniment, à mesure que le nombre des côtés augmente. Les termes de la suite naturelle des nombres entiers

croissent constamment et indéfiniment.

Les quantités infiniment petites et infiniment grandes jouissent de plusieurs propriétés, qui conduisent à la solution de questions importantes , et que je vais exposer en peu de mots.

Soit et une quantité infiniment petite, c’est-à-dire, une variable dont la valeur numérique décroisse indéfiniment. Lorsque dans un même calcul on fait

28 cours d’analyse.

entrer les diverses puissances entières de et, savoir,

et, et* , et3 , &c. . . . ,

ces diverses puissances sont respectivement désignées sous ie nom d’infiniment petits du premier , du second, du troisième ordre , &c.... En général, on appelle infiniment petit du premier ordre toute quantité variable dont le rapport avec et converge, tandis que la valeur numérique de et diminue, vers une limite finie différente de zéro ; infiniment petit du second ordre toute quantité variable avec et, et dont le rapport avec et1 converge vers une limite finie différente de zéro , &c. . . . Cela posé , si l’on désigne par k une quantité finie différente de zéro , et par e un nombre variable qui décroisse indéfiniment avec la valeur numérique de et, la forme générale des quantités infiniment petites du premier ordre sera

k et ou du moins k cl ( i ± e ) ,

la forme générale des quantités infiniment petites du second ordre

k et1 ou du moins k et’ ( i ± e ) ,

enfin la forme générale des infiniment petits de l’ordre n (« représentant un nombre entier) sera

k et” ou du moins k a” ( i rtr 6 ).

On peut facilement établir , à l’égard de ces divers

ordres de quantités infiniment petites , les théorèmes suivans.

1 .er Théorème. Si l’on compare l’un à l’autre deux infiniment petits d’ordres différons , pendant que tous les deux convergeront vers la limite zéro , celui qui est de l'ordre le plus élevé finira par obtenir constamment la plus petite valeur numérique.

Démonstration. Soient en effet

Æct” ( i ±ê) , k' a,”' ( i ±e')

deux infiniment petits, l’un de l’ordre n, fautre de l’ordre n , et supposons n > n ; le rapport entre le second de ces infiniment petits et le premier, savoir,

convergera indéfiniment avec et vers la limite zéro; ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la valeur numérique du second finit par devenir constamment inférieure à celle du premier.

2.* Théorème. Un infiniment petit de l’ordre n, c’est-à-dire , de la forme

k et n (i±ê),

change de signe avec * , toutes les fois que n est un nombre impair, et conserve pour de très-petites valeurs numériques de a. le même signe que la quantité k, lorsque n est un nombre pair.

Démonstration. En effet, dans la première hypothèse, et” change de signe avec et ; et dans la

1 cours d’analyse. .

seconde , cl* est toujours positif. De plus , le signe du produit Æ( i db g) est le même que celui de le, lorsque g est très-petit.

3. ' Théorème. La somme de plusieurs infinivient petits des ordres