K OT E I
dans le i,* ' quart de cr rclc , dans Je a * , dans le j/ , dans le ^.e
pour le sinus et la cose'cante . .
pour ie cosinus et ia se'cante . ... .
pour ia tangente et la cotangente 4 j
On peut remarquer à ce sujet que le signe de la tangente est toujours le produit du signe du sinus par le signe du cosinus.
Les considérations précédentes conduisent encore à reconnaître que le cosinus d’un are se confond avec la projection du rayon qui passe par ^extrémité de cet arc sur le diamètre horizontal, et que sur ce meme diamètre, il doit être compté positivement de gauche à droite , â paFtir du centre pris pour origine ; que le cosinus verse peut être mesuré sur le diamètre vertical entre le point le plus élevé de la circonférence pris pour origine et l’extrémité du sinus ; que la cotangente, Comptée positivement de gauche à droite sur la tangente horizontale menée au cercle par l’origine des cosinus verses , se réduit à la longueur comprise entre cette origine et le prolongement du diamètre mobile dont une moitié est le rayonmené à l’extrémité de l’arc ; enfin que la cosécante , mesurée sur' ce diamètre mobile , se compte positivement dans le sens du rayon dont il s’agit , et à partir du centre pris pour origine jusqu’à l’extrémité de la cotangente.
Nous avons suffisamment développé dans les préliminaires le système des notations à l’aide desquelles nous représentons les diverses lignes trigonométriques et les ares qui leur correspondent. Nous ne reviendrons pas, sur cét objet , et nous nous contenterons d’observer que les lignes trigonométriques d’un arc sont censées appar-
HOTE l."
tenir én même temps à l’angle au centre qu’il mesure , et que l’on désigne par la même quantité. Ainsi , par exemple , a , b , .... représentant des quantités quelconques', on peut dire également que les notations
* ain. a , cos. b , &c
èxpriment le sinus de l’arc ou de l’angle a, le cosinus de l’arc ou de l’angle b, &c. ....
Nous terminerons cette note en rappelant quelques propriétés remarquables des lignes trigonométriques.
D’abord, si l’on désigne par a une quantité quelconque, on trouvera que le sinus et le cosinus de l’angle a sont toujours liés entre eux par l’équation
(6) gin.* a -+- oog.* a = i ;
et que les autres lignes trigonométriques peuvent être exprimées au moyen de.ces deux premières , ainsi qu’il suit :
. ... • sin.ff
siv. a =b i — C09. a , tang. a = 1 — i séc. a
. . cos. a
cosiv. a = i sin. a , cot. a =ss — — , cosec.« = -
Des formules (6) et (7) on déduira facilement plusieurs autres équations , par exemple ,
cot.u:
tang.
séc.*a = i-t-tang.'fl, coscc.*a = i-t- cnt.*a ,
Il est encore aisé de voir que , si la quantité positive R représente la longueur d’une droite entre deux points, et « l’angle aigu ou obtus que forme cette droite avec un axe fixe , la projection de la longueur donnée sur l'axe fixe sera mesurée par la valeur numérique dû produit R coi. et ,
, note i.« 433
la projection de la même longueur sur une perpendieu {aire à l'axe par la valeur numérique du produit
B. tin. ne.
Enfin on reconnaîtra sans peine que si , en partant d'un point pris au hasard sur la circonférence du cercle qui a pour rayon l’unité, on parcourt sur cette circonférence, dans un sens ou dans un autre, une longueur égale à la valeur numérique d’une quantité quelconque c, le plus petit **rc compris entre les extrémités de cette longueur sera inférieur ou supérieur à -f , suivant que c sera positif ou négatif.
Ces principes étant admis , concevons que sur la circonférence dont on vient de parler on détermine, ».• les extrémités (A) et (B) des arcs représentés par deux quantités quelconques « et 4, a.‘ l’extrémité (AT) d’un trorsième are représenté par Soit en outre (M) le
milieu de la corde qui joint les points -(al), (B) - et supposons que le point (AT) se projette sur le diamètre horizontal du cercle en un certain point (P). Si les longueurs mesurées sur ce diamètre, à partir du centre pris pour origine, sont comptées positivement de gauche à droite , ainsi que les cosinus , la distance du centre au point (P) devra être représentée [en vertu du 8.* théorème] par la quantité
cos. a -+• cos. b
De plus, comme [en vertu du même théorème] le point {N) est situé à égaies distances des points (A) et (B) le diamètre qui passe par le point (N) renfermera le milieu
(M) de la corde AB; et la distance de ce milieu (M) au centre du cercle sera égale [abstraction faite du signe]
au cosinus de chacun des arcs 'NA , IvB, ou ce TOM. 1. ’ 1
pevient au même , à
coi (t~t~ - ° ) = co* (rr~ -b)= cot (~r~ )•
Pour obtenir la projection horizontale de cette distance , il suffira de la multiplier par le cosinus de l’angle aigu compris entre le rayon tiré horizontalement de gauche à droite, et le diamètre qui renferme le point (Ar) , c’est-àdire, par un facteur égal (au signe près) à co». - ). En d’autres termes, la distance du centre au point (P) aura pour mesure la valeur numérique du produit . ..
J'ajoute que ce produit sera positif ou négatif, suivant que le point (Af) sera situé à droite ou à gauche du diamètre vertical. En effet , co». ( ) est positif ou néga-
tif, suivant que le point (N) est situé par rapport à ce diamètre du côté droit ou du côté gauche ; et co». ( -■— ) est positif ou négatif, par suite le produit
cos.
est de même signe que co»
‘ , ou de signe contraire,
suivant que, chacun des arcs NA , NB étant inférieur ou supérieur à , le point ( M) se trouve situé du même côté que le point (iV) ou du côté opposé. Comme d’ailleurs la verticale qui passe par le point ( M ) renferme aussi le point' ( P ) , il suit de la remarque précédente que ïa distance du centre au point (P)., dans le cas même où Ton a égard aux signes, peut être représentée par le produit
cos. .
Ce produit et la quantité — ■ -y-— - ont donc le même signe, avec la même valeur numérique ; et l’on a par con-
séquent, pour toutes ies valeurs possibles des quantités a et b , .
(pj cos. a -H cos. A = 2 cos. 1 — 1. cos. ( J.
Si dans 1 équation (9) ©n remplace b par * -4- b , on en tirera v ’ .
(i o) cos. a — cos. b = a sia. *in.
De plus , si dans les équations (9) et (10) on substitue
aux angles a et J leurs complémens a > b ,
on obtiendra les suivantes
stn. a -+■ srn. b — 1 cos. J 1 . sin. ( I (
sin. « — sin. b =» a »m. f 1 . oos. ( .1,
Les formules (9), (10) et (1 1) une fois établies, on en déduira facilement un grand nombre d’autres. On trouvera , par exemple ,
^ sin. a — sin . 4
sin. a -t-*sin . b cos. b — cos. a
■ tepe- i (*■ — *)
tang. t (« -♦- ï) * rang, ^(o — i).ung. i(o4-S) i
( cos. ( a
co*. b -+- cos. a
b) -H cos. (a -t* b) = *cas. a co*. A ,
cos. (a — b) — o*s. (a -+- A) = a *in. a sin. A ;
j sift. (a A) -t- sin. (a — A) îss i gin. a cos. A ,
' sin. (a -J- A) — sin. (a — A) = i sin. A cos. a;
s.fa ± A) = cos. a cos. A “ sin. a sib. A ,
Os)
sin. ( a db A ) = lin. a cos. A db sin. A cos. a ;
(« 6) tang. (a db A) = ;
1 i qp tang. a tang. A ’
cos. ia=z cos.1 a — sin.1 a = 2 cos.1 a — t = i — 2 si*.1* ,
sin. 2 a =* 2 sin. a cos. a.
Ee
. Soient maintenant a, b, c trois angles quelconques. On tirera de la première des formules (i })
» o \ ) cof.(a-t-4-t-c)-t- ros/A-f-c — fl)-+-coe.(c-fo— 4)-ecos.(a-+-A — r)
( == 4 cos< a co». b co». c.
Si dans la formule précédente, au lieu de a , b, c, on écrit ja, ~b , •je, puis, que l’on suppose
on trouvera
(■ v abc
20) «in. a 4- fin. b ■+• lia. c = 4 COi " .cos. " .cos. - .
Dans la même hypothèse, la formule ( 1 6) donnera
(ai) tang. a ■+■ tang. A -4- tan g. c as tan g. a . tang. 4 . tang.c.
L’équation (20) devant subsister, ainsi que l'équation (19), lorsque l’on y remplace deux des angles a, b , c par leurs supplémens, et qu’on change le signe du troisième , on eh conclura
$m. b sm. c — ain. « = i cos. - . sm. - . sia. -
fiai/ fin. e fin. a — *io. 4 — 4 fin. - .cos. — . sin. - 1 '\ i «a a
sin. a -+- sin. 4 ■
• sin. c = 4 sin. - : sin. - .cos. — .
De ces dernières formules combinées entre elles et avec l'équation (20) on déduit les suivantes
B 1 (sm.a-+-sin.A-4-sin.c) (sin.A-4-6in.c — sin. a)
COS. —O. — — : t — : 1
1 4 sm. 4. fin. c
. , , (sin.c-t-sin.a — fin. 4) (sin.a-t- sin.£ — sin.c)
Sin. — a — . — -H» -
1 4 fin. 4.SIO. c.
Enfin , si l’on imagine que a , b, c désignent les trois angles d’un triangle , et qiTe les côtés opposés soient respectivement A, B, C ; six produits égaux deux à deux, .. .voir ,
B sin. e = C sin. A Csia. a — A sin.c ,
A sia. b es B sin. * » *"
représenteront les perpendiculaires abaissées des sommets sur les trois côtés. On aura par suite
sin a sin. b SID. C
et les équations (23) deviendront
( cos.* {
( sin.r^
De plus, en ayant égard aux formules (19) et (2 4) » on tirera de la première des équations { 1 2) . . t
(26) tang. — b) — -ÂA B- cot. - c.
Informulés (19), (24)» (2î) et (2<5) suffisent pour déterminer trois des six élémens d’un triangle rectiligne , lorsque les trois autres élémens sont connus , et que cette détermination est possible. On peut remarquer en outre que les valeurs de cos. a et de sin. a déduites des équations (2 j ) , à l’aide des formules (17), sont respectivement
Bx -+-C* — A 1 iBC *
La première de ces valeurs peut se firer directement d’un théorème connu de géométrie. Quant a la seconde, elle fournit le moyen d’exprimer la surface du triangle en fonction des trois côtés. En effet , cette surface , équivalente au produit de la base C par la moitié de la haute^n correspondante B sia. a, sera
(28) j B C sin- « —
i ^(A-t-B-t-C) (B + C-~A)(C-¥A— B){Aa-B— C) -
cos. c =
sin. a —
Sur les F ormules qui résultent de l’emploi du signe > ou < , et sur les Moyennes entre plusieurs quantités.
Soient' « et A deux quantités inégales. Les deux formules
serviront également à exprimer que la première quantité a surpasse la seconde b, c’est-à-dire, que la différence
est positive. En partant de ce principe , on établira facilement les propositions que je vais énoncer.
