JJ

rc

cos. n> =

Enfin , si dans la formule (32) on suppose la valeur numérique de inférieure à l’unité , les deux membres

de cette formule pourront être développés suivant les puissances ascendantes de v , et la comparaison des cocfficiens des puissances semblables dans les développemens dont il s’agit fournira les équations

— 7- *4“ — ?" — ~r 4X . • • — jS J, 75

dont la première coïncide avec l’équation (4o) du chapitre IX [§. a].

Concevons maintenant qu’après avoir divisé par v les expressions (29) et les sommes (30), on fasse con verger la variable v vers la limite zéro ; on trouvera, en passant aux limites,

(3 5) cot-“ = - — — -+

= 2 U ( — ^ ; +-TZÏ ;+1“| r + &c- J,

(36) tang.u=-i

ir 7T ITT 7.VT 5X

Comme on a d’ailleurs généralement , pour des valeurs numériques de u inférieures à celles de a,

I 1 / ux \-> 1 u1 u4

^ = = ^ nr 4'&c -' ’

on tirera des formules (35) et (3 , en supposant la valeur numérique de u plus petite que — f

(j7) cot,u = -i- - ~ (.+~ -t- -+-&C....)

-576 KjOTE IX.

(38) tan g. U = (,-H -L -H -L -+■ y

.... -+7('+ïï + ^ + 7T + k;-)

Par suite on. aura , en vertu des équations (25) et (26),

cot. M

aéu5

(4o) tang. U =

Si l’on ajoute ces dernières , après y avoir remplacé u

par — u , on obtiendra le développement en série de

COS. - U 811). T u

cot.’~ ü+tang. u = — h

sin. — ’*1

* et l’on en conclura

sin. T ü cos. - u sm. y U cos. 7 u

is— ; ! ' . «

• = 2 cosec. u ,

cosec. U

I , v2tt I/r, x ill* * /I , e v 2Ï#

Nous ne nous arrêterons pas davantage sur les conséquences qui dérivent de la formule (17). On peut consulter sur cét objet l'excellent ouvrage d’Euler, qui a pour titre Introductio in analysin injinitarum.