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aura une seule valeur réelle positive ou négative » savoir ,

-h A n ou — A " f

lorsque — sera une fraction de dénominateur impair;

tandis quelle admettra les deux valeurs réelles dont on vient de parler, ou quelle n’en admettra aucune,

si — est une fraction de dénominateur pair. On peut faire une semblable remarque à legard de l’expression

Dans le cas particulier où, la quantité a étant positive, on suppose ~ l’expression ((«))* n’a

que deux valeurs réelles l’une et l’autre, et données par la formule (2), ou, ce qui revient au même, par la formule ( 1 ).

Les notations

indiquei'ont les logarithmes réels du nombre B dans différens systèmes ; tandis que chacune des suivantes

pourra servir à désigner , outre le logarithme réel de la quantité b, lorsqu’il existe, un quelconque des logarithmes imaginaires de cette même quantité [voy. ci-après, chap. IX, ce qu’on entend par logarithmes imaginaires ].

Eh trigonométrie,

sin. a, cos .a, tang. a, cot .a, sec. fl, cosec. a, -

siv. a, cosiv. a,

exprimeront respectivement le sinus, le cosinus , la tangente, la cotangente , la sécante, la cosécante, le sinus verse ou le cosinus verse de l’arc a; et les notations

arc sin. ((a)), arc cos. ((a)), arc tang. ((a)) , arc cot. ((a)),

arc sec. ((û)), arc cosec. (^(a)) ,

indiqueront un quelconque des arcs qui ont la quantité a pour sinus, ou cosinus, ou tangente, ou cotangente , ou sécante , ou cosécante. Nous nous servirons des notations simples

12 COURS d’analyse.

arc sin. («) , arc cos. ( a ) , arc tang. (a) , arc cot. (a) ,

arc sec. (a) , arc coséc. :V/j ,

ou même, en supprimant tout-à-fait les parenthèses, des notations suivantes

arc sin. a, arc cos. a, arc tang. a , arc cot. a,

arc sec. a, arc cosec. a,

lorsque, parmi les arcs dont une ligne trigonométrique est égale à a, nous voudrons désigner celui qui a la plus petite valeur numérique, ou, si ces arcs sont deux à deux égaux et de signes contraires, celui qui a la plus petite valeur positive. En conséquence ,

arc sin. a, arc tang. a, arc cot. a , arc coséc, tt ,

indiqueront des arcs positifs ou négatifs, mais compris entre les limites

7r désignant la demi-circonférence dans le cercle, qui a pour rayon l’unité ; tandis que

arc cos. a, arc sec. Cl,

indiqueront des arcs positifs compris entre les limites o et vr.

En vertu des conventions que l’on vient d’établir, si l’on désigne par k un nombre entier arbitraire, on aura évidemment , pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la quantité a,

arc sin. ((«)) ± — arc sin. aj ± ik'X ,

are cos. ((a)) = ± arc cos. a ± 2 X* 7T , arc tang. ((a)) = arc tang. a ± X* 7T ,

arc cos. a -4- arc sin. CL — — ,

arc cosec. a -H arc sec. a = — .

Oa trouvera déplus, pour des valeurs positives de a.

(4) arc cot. et -l- arc tang. a ^

et, pour des valeurs négatives de a,

arc cot. a -t- arc tansr. a = .

Lorsqu’une quantité variable converge vers une limite fixe, il est souvent utile d’indiquer cette limite par une notation particulière ; c’est ce que nous ferons, en plaçant l’abréviation

lim.

devant la quantité variable dont il s’agit. Quelquefois , tandis qu’une ou plusieurs variables convergent vers des limites fixes, une expression qui renferme ces variables converge à -la -fois vers plusieurs limites différentes les unes des autres. Nous indiquerons alors une quelconque de ces dernières limites , à l’aide de doubles parenthèses placées à la suite de l’abréviation lim. , de manière à entourer l’expression que l’on considère. Supposons, pour fixer les idées , qu’une variable positive ou négative repré-

14 cours d’analyse.

sentée par x converge vers la limite i , et désignons par A un nombre constant : il sera facile de s’assurer que chacune des expressions

lira. (A1), lim. (sin. .r) a une valeur unique déterminée par 1 équation lim. ( Ax ) = i-, ou lim. (sin. x) = o; tandis que l’expression

Km- ((t)) •

admet deux valeurs, savoir, -+- oo , — oc , et lim. ((sin.-^))

une infinité de valeurs comprises entre les limites — i et -t- i.

Nous allons terminer ces préliminaires en présentant , sur les quantités moyennes , plusieurs théo- * rèmes dont la connaissance nous sera fort utile dans la suite de cet ouvrage. On appelle moyenne entre plusieurs quantités données une nouvelle quantité comprise entre la plus petite et la plus grande de celles que l’on considère. D’après cette définition, il est clair qu’il existe une infinité de moyennes entre plusieurs quantités inégales , et que la moyenne entre plusieurs quantités égales se confond avec chacune d’elles. Cela posé, on établira facilement, ainsi qu’on peut le voir dans la note II.', les propositions suivantes.

1." Théorème. Soient b, b', b" ....plusieurs quantités de même signe eh nombre n, et a, a, a"... des quantités quelconques en nombre égal à celui des premières. La fraction

sera moyenne entre les suivantes

bT ’

-Jr.

Corollaire. Si l’on suppose

on conclura du théorème précédent que la quantité

est moyenne entre les suivantes

Cette espèce particulière de moyenne est ce qu’on nomme une moyenne arithmétique.