Théorème. Soient a, a', a" ; b, b

b" .... deux suites de nombres pris a volonté; et formons avec ces deux suites , que nous supposons renfermer chacune un nombre n de termes , les racines

B-hB'+B’^..

AA' A"... sera une nouvelle racine moyenne entre toutes les auti'cs*

16 cours d’analyse.

Corollaire. Si l’on prend

B = B'=B"...= i, on trouvera (pie la quantité positive

est moyenne entre les suivantes '

Cette moyenne, d’une espèce particulière , est celle que l’on nomme moyenne géométrique.

3.' Théorème Les mêmes choses étant posées que dans le théorème i.tr , si a , a , a" .... désignent encore des quantités de même signe , la fraction

a a -4- a.' a' -+- et" a" -+- &c. . . . cl b -t- a.' b' a." h" -t- &c. . . .

sera moyenne entre les suivantes

Corollaire. Si l’on suppose b = b' = b" ....= i,

on conclura du théorème précédent que la somme

t t lltl Q

a et a eu a et &c. . , .

est équivalente au produit de

(t + CL H- cC *+• &C. . . .

par une moyenne entre les quantités a, a, a", &c. . .

Pour abréger, lorsque nous voudrons désigner une moyenne entre plusieurs quantités a, a1, a ..., nous nous servirons de la notation

Cela posé, les théorèmes qui précèdent et leurs corollaires se trouveront compris dans les formules

(9) VA A = M{A, a\ a " ....),

/ \ aoL-i-a' et'-^-a" , , ( a a' a" N

\IOJ M \T ’ ~br > ~b" ' •

(1 ij flct-t-fl et -t-fl d, -t-. -t-ct, 1 jd"

Dans ces formules ,

a, a', a" ...; b, b', b" ... ; et, au', a." ....

représentent trois suites de quantités , et

deux suites de nombres formées chacune de n termes différons. La troisième suite est , ainsi que la seconde , uniquement composée de quantités de même signe.

La notation que nous venons d’adopter fournit le moyen d’exprimer qu’une quantité est comprise TOM. 1 . B

1S cours d’analyse, prélim.

entre deux limites données. En effet, toute quantité comprise entre les limites a, b étant une moyenne entre ces mêmes limites , on pourra la désigner par

Ainsi , par exemple , toute quantité positive pourra être représentée par M ( o , oo), toute quantité négative par M ( — oo , o ) , et toute quantité réelle par M ( — oo , + oo ). Lorsque nous voudrons indiquer indistinctement une quelconque des quantités renfermées entre les limites a çt b, nous doublerons les parenthèses , et nous écrirons

Par exemple , si l’on suppose que la variable x converge vers zéro , l’on aura

lim. sin. = i , + i));

attendu que l’expression lim. sin. admettra

une infinité de valeurs comprises entre ko valeurs extrêmes — i et 1 .

cours d’analyse. 19