TOM. I. T
cours d’analyse.
on trouvera, au lieu de la formule (i6)[chap. VI ; 4]> ta suivante
(13) •&{&) ‘ar(fA') =
Il est essentiel de remarquer que cette dernière formule subsistera uniquement pour les valeurs de z comprises entre les limites z = — 1 , z—-+- 1 , et qu’entre ces limites la fonction imaginaire '&(/&), c’est-à-dire , la somme de la série (9) sera en même temps continue par rapport à z et par rapport à /u. [voyez ci-dessus le §. 1 , 1." théorème].
Concevons à présent qu’au lieu de la série (9) on considère généralement la série (3), et que dans cette dernière on fasse varier la valeur de z par degrés insensibles. Tant que la série (3) sera convergente, c’est-à-dire, tant que la valeur de z restera comprise entre les limites
la somme de la série sera une fonction imaginaire continue de la variable z. Soit -ar ( z ) cette fonction continue. L’équation
'Br (a) = o0-+-o,-(cos.9 -i-y/ZI'i sin.0)-| -a2zx (cos. i9-e-y/^7 sin.ifi;
subsistera pour toutes les valeurs de z renfermées entre les limites — ; ce que nous indiquerons en écrivant ces limites à côté de la série , cémme on le voit ici :
(l ;j) W(*)~“*H'a>x(c0s-®'*"Vtî «n*8)' ^=—
( •+• ai z* (cos.îS-t-^/^LT «in.20)-t-&c...
On doit observer que féquation précédente équivaut toujours à deux équations réelles. En effet , si Ton pose . . .
4(4 et x(z) désignant deux fonctions réelles, on tirera de l’équation (f4)
j 4 (4 — ~+~ Uj £ cos.$ a,x Z * cos. 20 -+-&C... ,
ta ..
7 \ 1 * et * f. . rt i; » — ;
X Vu) ~ O, Z sin. 0 -4- àx Z sin. 20 -H
Lorsque la série (3) est donnée, on peut quelquefois en déduire la valeur de la fonction tst (z) sous forme finie;- et c’est là ce qu’on appelle sommer la série. Nous avons déjà , dans le 1 .er paragraphe, résolu cette question pour W sérié (8). Nous allons maintenant chercher à la résoudre pour les séries fe)» ( 1 °) » ( 1 0; et en conséquence nous traiterons 1 un après 1 autre les trois problèmes qui suivent.
l.w Problème. Trouver la somme de ïa série
z(cos.9-t-./( siu.j), — 1?
(cos.ig-f-y/^
dans le cas où l’on attribue à la variable z une valeur comprise entre les limites
cours d’analyse.
Solutiox. Soit 'sr(fx) la somme cherchée. En désignant par jx une quantité réelle différente de ' fx y on trouvera
(13) ‘&(fx)'ïï(fx) — T2- {tx-^fx).
L’équation précédente, étant semblable à l’équation ( 2) du chapitre VIII [ §. 5 ] , se résoudra de la même
manière ; et l’on en conclura ,
'ar(fc) = rM[cos./x.ê -+- y^T sin ./xt~\,
le module r et l’angle t étant deux quantités constantes par rapport à fx, mais qui dépendent nécessairement de z et de 0. On aura donc , entre les limites z — — 1 , z = -*- 1 ,
Il -t- — Z ( cos. ô -+- -J— 1 sin. 0 )
-+- M(“.-Llz'(cos. 20’-t- sin. 20) -t- &C...
= r^fcos. fxt -+- y/— I sin. fxt\ }
Pour déterminer les valeurs inconnues de r et de t , on fera dans l’équation (17) fx— 1 , et î’011 en tirera
