I . . . a,*’ (cos.n0-t-y/^T7 sin.nS) , &c :r

Soit maintenant , comme dans Iq, chapitre VJ [§. 4 ] » -d la plus grande des limites vers lesquelles converge , tandis que n croît indéfiniment y la racine n."“ de la valeur numérique de a„. La plus grande des limites , vers lesquelles convergera dans la même hypothèse la racine n.me du module de l’expression imaginaire

an xn = aa s”'(cos. «9 -h *în.n9),

sera équivalente à la valeur numérique du produit

et en conséquence [voy. ci-dessusle§. 1 2.e théor.J

la série (3) sera convergence ou divergente. suivant que le produit Az aura une valeur numérique inférieure ou supérieure à Viinité. On déduit immédiatement de cette remarque la proposition suivante.

l.er Théorème. La série ( 3) est convergente pour toutes les valeurs 1 de z comprises entre les limites * . .... 1 , v

divergente pour toutes les valeurs de z situées

hors des mêmes limites. En d’autres termes r la série ( i ) est convergente ou divergente suivant que le module de l' expression imaginaire x est inférieur

ou supérieur a -j* .

Scholie. Lorsque la valeur numérique cfü rapport -a converge , pour dés "Valeurs croissantes

de n, vers une limite fixe, cette limite est précisément la valeur de la quantité positive désignée par

A. ■ -. !• 1 , •>!!•. -vt ■..■•y.u: • u*

Corollaire i.,r En comparant le théorème précédent au i.er théorème du chapitre VT [§. 4]> on reconnaîtra que , si fa série ( î ) est convergente pour une certaine valeur réelle de la variable x , elle demeurera, convergente pour toute, valeur imaginaire dont cette valeur réelle serait, au signe près, le module. Pat suite , si la série (i) est convergente pour toutes les valeurs réelles de la variable x, elle restera convergente , quelle que soit la valeur imaginaire que l’on attribue à cette variable.

Corollaire 2 S Pour appliquer le premier théorème et le précédent corollaire ., considérons les quatre séries

... * \ . fi .

xn,kc.,

288 COURS d’analyse. 1

; k désignant dans la seconde une quantité quelconque. De ces quatre séries les deux premières , ainsi que la dernière , restent convergentes pour toutes les valeurs réelles de x comprises entre les limites .... • ,

et la troisième pour des valeurs réelles quelconques de la variable x. Mais si , au lieu d’attribuer à x une valeur réelle, on suppose

X — Z (cos. 8 -t- /-t sin. 8 ) ,

à la place de ces quatre séries, on obtiendra les suivantes '.i ■ .)

i, * (cos.S-^y/—, «R.0) , zl (cos.i 0-+-y/ — X JÎn.iQ) , ...

z " (cos i sin. «6) , (ne.

r i , — s(co».8-t-y'— i sin .8), - — z 1 (cos. 1 8-+-yCH stn ■ 1 6 ) ,

“ ' ) ... J-(C0S.n8-Hl^Tsia.n8), Su:...

i f ,n(c»s,0H~i/r-i sin-S] , **(cos. iÇ^j/STtsin. ?.0)i i

* gW (cos- ”8 -4- ]/- 1 sin- w9 ),

x (cos. 0-(-l/tr7sin. 6) (cos- a8 4- y/^7 sin. 18)

(il)

) J *" (col. n0 -H i/^T7 sin. «0)

dont les deux premières et la dernière resteront

cortvergentcs pour toutesdcs valeurs de z comprises entre les limites

tandis que l’avant -dernière sera toujours convergente, quelle que soit la valeur réelle de z.

Après avoir fixé lesdimites, enitre lesquelles il faut . renfermer .5. pour. rendre la série ^3) convergente, nous ferons remarquer qu’en vertu des principes établis dans le paragraphe précédent les théorèmes 3 / , 4-e et 5 / du chapitre VI [ §. 4 ] 1 avec leurs co- . çollairq$ r peuvent être, étendus au cas où la Variable je devient imaginaire. On devra. seulement admettre, dans l’énoncé du 4-* théorème, que chacune des séries

a„ , a g , nx.v\, &.c

b9 , b, jc , b1.vi , &c. ...

reste convergente lorsqu'on réduit ses différons . termes non plus à.ieurs valeurs numériques , niais à leurs modules respectifs. Cela posé, si i on désigne par '&'(/&) ce que devient le second membre de l’équation (1 3) [chap. VI, §. 4]> lorsqu’on attribue à x la valeur imaginaire

Z ( cos. ô -4- y/— 1 sin. fr) ,

ou, en d’autres termes, si l’on fait

<ar (/#) as 1 ‘ i ( cos. 8 -H -y/— I *in. 9 )

l ül— — li. z3- (co«. 18 -i- y/ZTT sin. »8) -+■ 8tc...