Considérations générales sur les Fonctions

Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que , la valeur de l’une d’elles étant donnée , on puisse en conclure les valeurs de toutes ’ les autres , on conçoit d’ordinaire ces diverses quantités exprimées au moyen de l’une d’entre elles, qui prend alors le nom de variable indépendante ; et les autres quantités exprimées au moyen de la variable indépendante sont ce qu’on appelle des fonctions de cette variable.

Lorsque des quantités variables sont tellement

liées entre elles que , les valeurs de quelques-unes

4 étant données , on puisse en conclure celles de

toutes les autres, on conçoit ces diverses quantités

exprimées au moyen de plusieurs d’entre elles, qui

prennent alors le nom de variables indépendantes p

20 COURS d’analyse.

et les quantités restantes , exprimées au moyen des variables indépendantes , sont ce qu’on appelle des fonctions de ces mêmes variables.

Les diverses expressions que fournissent l’algèbre et la trigonométrie , lorsqu’elles renferment des variables considérées comme indépendantes , sont autant de fonctions de ces mêmes variables. Ainsi , par exemple ,

T j j j Sin. X p &C. » • » y

sont des fonctions de la variable oc ;

oc y p oc y p oc y z p &c. . . ,

des fonctions des variables oc et y , ou x, y et z, &c...

• Lorsque des fonctions d’une ou de plusieurs variables se trouvent , comme dans les exemples précédens, immédiatement exprimées au moyen de ces mêmes variables , elles sont nommées fonctions explicites. Mais , lorsqu’on donne seulement les relations entre les fonctions et les variables, c’est-à-dire, les équations auxquelles ces quantités doivent satisfaire , tant que ces équations ne sont pas résolues algébriquement , les fonctions, n’étant pas exprimées ' immédiatement au moyen des variables, sont appelées fonctions implicites. Pour les rendre explicites, il suffit de résoudre, lorsque cela se peut, les équations qui les déterminent. Par exemple , y étant une fonction implicite de x déterminée par l’équation

si l’on nomme A la base du système de logarithmes

que l’on considère , la même fonction , devenue explicite par la résolution de l'équation donnée, sera

Lorsqu’on veut désigner une fonction explicite d’une seule variable x ou de plusieurs variables x, y , z ... y sans déterminer la nature de cette fonction,, on emploie l’une des notations

Pour qu’une fonction d’une seule variable soit complètement déterminée , il est nécessaire et il . suffit que de chaque valeur particulière attribuée à la variable on puisse déduire la valeur correspondante de la fonction. Quelquefois , pour chaque valeur de la variable , la fonction donnée en obtient plusieurs différentes les unes des autres. Conformément aux conventions adoptées dans les préliminaires, nous désignerons d’ordinaire ces valeurs multiples d’une fonction. par des notations dans lesquelles la variable sera entourée de doubles traits ou de doubles parenthèses. Ainsi , par exemple ,

arc sin. M ' ,

indiquera un quelconque des arcs qui ont x pour sinus ,

X = dr x

l’une quelconque des deux racines carrées de la variable x supposée positive, &c....

• COURS d’analyse.

§. 2.' Des Fondions simples.

Parmi les fonctions d’une variable x, on appelle simples celles qui résultent d’une seule opération effectuée sur cette variable. Les fonctions simples que l’on considère ordinairement en analyse sont en très-petit nombre , et se rapportent les unes à l’algèbre, les autres à la trigonométrie. L’addition et la soustraction , la multiplication et la division , l’élévation aux puissances et l’extraction des racines, enfin la formation des exponentielles et des logarithmes, produisent les fonctions simples qui se rapportent à l’algèbre. En conséquence , si l’on désigne par A un nombre constant , et par a = ± A une quantité constante , les fonctions algébriques simples de la variable x seront

a-*-x, a — x, ax, x*, A*, L(x).

Nous ne tenons pas ici compte des racines , parce qu’on peut toujours les ramener aux puissances. Quant aux fonctions simples qui se rapportent à la trigonométrie , on pourrait en compter un grand , nombre, si l’on rangeait parmi les fonctions simples toutes les lignes trigonométriques , et les arcs qui correspondent à ces mêmes lignes ; mais nous les réduirons aux quatre suivantes

sin. X , cos. X f

*arc sin. X t arc cos. X ;

et nous mettrons au nombre des fonctions composées les autres lignes trigonométriques tang. x, séc. x , &c. avec les arcs correspondans , arc tang. x , arc séc. x ,

&c ; attendu que ces dernières lignes peuvent

toujours être exprimées par le moyen du sinus et du cosinus. Nous pourrions même, à la rigueur, réduire les deux fonctions simples sin. x et cos. x à une seule , puisqu’elles sont liées entre elles par J’équation sin.1 x -+• cos.1 x = i ; mais 1 emploi de ces deux fonctions est si fréquent, qu’il est utile de les conserver toutes deux à- la- fois dans le calcul comme fonctions simples.