I -f- 5 COS. Ç

, i(cos.8-t-/IT7sin.6)-t- — — s1(cos.i8-+*V'— > «‘M).

| =(| + 2Z cos. 8 -I- Z1) » * [cos.,«f-+- y'Tï sin./*/] ,

la valeur de t étant déterminée par la formule

(20j t = S . ± zf(7Ç , . »

dans laquelle le nombre entier k 11e peut dépendra que des quantités z et 9.

Remarquons à présent que le premier membre de l’équation (19) est, entre les limites z = — 1 , -+. x, une fonction continue de», -qui varie avec z par degrés insensibles , quelle que soit la valeur de ja,. Le second membre de l’équation devra doue

294 COURS D’ANALYSE

jouir de la même propriété , ou , en d’autres termes,

les quantités

(l + Ii cos. 0 -t- z' \ * COS. fÀ ,t ,

( t H- tZ cos. 0 -+- Z1 y* ùn.JAt ,

et par conséquent les suivantes

cos. fAt , sin. fAt

devront varier avec z par degrés insensibles, pour toutes les valeurs possibles de /a. Or, cette condition ne peut être remplie que dans le cas où t luimême varie avec z par degrés insensibles. En effet, si un accroissement infiniment petit de z produisait un accroissement fini de t, de manière à changer t en t-^a, a désignant une quantité finie, les cosinuset sinus des deux arcs

fAt , Jü(t+fl)

ne pourraient demeurer sensiblement égaux, qu’autant que la valeur numérique du produit /a a serait à très-peu près un multiple de la circonférence , ce qui ne peut être vrai que pour des valeurs particulières du coefficient /a , et non pas généralement pom* des valeurs finies quelconques de ce coefficient. On doit donc conclure que l’arc t=s±:2kr7r est fonction continue de z; et , comme des deux quantités s, k, la première, déterminée par l’équation (i 8), varie avec z -d’une manière continue entre les limites i , z = -i- 1 , tandis que -la seconde,.

assujettie à rester toujours entière, n’admet que des variations finies d’une ou de plusieurs unités , il est clair que, pour satisfaire à la condition énoncée, la quantité s devra varier toute seule, et la quantité k demeurer constante. Cette dernière quantité sera donc indépendante de z , et, pour en connaître la valeur dans tous les cas possibles, il suffira de la chercher en supposant z = o. Comme on a dans cette hypothèse s = o, t=zt 2 li'Tf , ou tirera de l’équation (19)

I = cas. {zkjX'X) ± ■/— 1 sin. (2/cfA,'7r) ,

quelle que soit la valeur de /x , et par suite Jt = o.

Cela posé , la formule (20) donnera généralement t = s ,

et 1 équation (19) se trouvera réduite à

tfX, Lj (u — 1 )