CO

+ cc

la valeur de la variable réelle c étant complètement arbitraire, puisqu’elle peut être choisie à volonté entre les valeurs extrêmes z = — 00 , .3 =-4- 00.

Co rollaj RE T." Si, en comparant les deux membres de l’équation (28), on égale de part et

d’autre î.Mes parties réelles, 2.0 les coefficiens de y/ZT, f on obtiendra les deux équations réelles

I L cos. 9 -+- cos. 28 ~t~ &c. . . •

= c*C0S'9 cos. (s sin. 8) , U = -ooj

s2 A | Z sa H- CO j

— sin. ô ~ H * — sin. 2 ô &C. • • • i » .2

— e"cos ® sin. (^z sin. 8).

Corollaire 2/ Si l’on suppose 8 = — , ou, ce qui revient au même , cos. 8 = 0, sin. 8=1, les équations (29) deviendront

-+- &C.... — sin.

Ces dernières subsistant , aussi bien que les équations (29), pour des valeurs réelles quelconques de z, il cil résulte que les fonctions sin. z et cos. z sont toujours dcveioppables en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable quelles renferment. Comme cette proposition mérite d’être remarquée, je vais la démontrer ici directement.

La série

étant convergente pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable x, restera convergente [en vertu du 1 .er théorème , corollaire 1 ." ] pour des

valeurs imaginaires quelconques de cette même variable. Si l’on multiplie la somme de eette série par la somme de la série semblable

en ayant égard à-la-fois au 3.' théorème du premier paragraphe, et à la formule (6) du VIU.e chapitre [§. 4], on trouvera, pour toutes les valeurs possibles réelles ou imaginaires attribuées à x et à y,

Lorsque, dans l’équation qui précède, on remplace x par x et y par y •/— 1 , on obtient la suivante

dans laquelle on pourra , si l’on veut , supposer réelles les variables x et y. Faisons, dans cette hv* pothèse ,

/ \ x x J x’WZZl

•ÜT l x) = I -t- —

Lequatiqn (3 2) deviendra