IV. Plus généralement, si , dans Téquation

(x — a) {x* -♦- ox -♦- 6) = 0, Ton suppose 6= J (a* -*- c'), on est conduit à cette identité .

M«cufl«IOB de la f^rnivie de Cardan.

u Premier cas : B> 0, ou 4p* -»- 27ç* > 0. Les quantités A -t-V^, A — V^B sont réelles et inégales; donc les valeurs R^, Rj, peuvent être supposées réelles; de plus, elles sont tné^afe^. II résulte alors, des formules (16), que réquation (1) a deux racines imaginaires.

S«*, Deuxième cas : B=0, ou 4p' -f- 27g* = 0. Les valeur désignées par R^ , R^ peuvent encore être supposées réelles; mais elles sont égales; donc

x, = 2Rt, x, = a:, = — R, (•):

réquation (1) a deux racines égales.

Ces résultats s accordent avec ce que Ton a vu ci-dessus (S»4).

SS9. Troisième c(w ; B < 0, ou 4p' -+- 27g' < 0. Les binômes A h- V^^, A — W^ élant imaginaires, il en est de même pour R^ et R^; en sorte que les valeurs des racinesy données par les formules (16), se présentent sous forme imaginaire, précisément quand ces trois racines sont réelles. Cette sorte de paradoxe a fait donner, au cas dont il s agit, le nom de cas irréductible. On va voir comment, au moyen des fonctions circulaires, on peut alors résoudre PéquaUon (**).

n Acatt8edee«-*-0 = — I.

(**) Si PoD conçoit que Fou ait mis l^A-i-I^B sous la forme a-^^V^ {>••), on aura, le produit R^R, étant réel ,

Par suite,

a?,=s2tf, 0?, = — (a-+-/3l^), a;,= -(« — 3 *^3);

valeurs réelles. Malheureusement, réquation du troisième degré qui délirait donner a ne diffère pas, au fond, de réquation proposée.

SS9. Quand Téquation

X* -*- px -*- y = 0 (I)

a ses trois racines réelles, on la réduit aisément à celle qui

donne le sinus du tiers d'un arc a dont le sinus est donfièj

c'est-à-dire (*),

3 i y» — -y^-sina = 0. (17)

En effet, posons x = | : Téquation (1) devient

y* -h pk*y -4- çfc' = 0.

IdentiGant avec (17), on trouve

'4^' -=ivqs'-

Cette dernière formule donne une valeur réelle pour Tare auxiliaire a Ç'*) ; car la relation

ip" -+- 27qf' < 0 équivaut à

^V-&'<un.

attendu que p est négatif.

(*) Manuel des Candidats, 1. 1, p. 262.

{**) Et même une infinité de vtUeurs réelles : les Tables trigonométriques font ooDnattre la plas petite.

(•**) Dans celte formule, 1^ représente -h g ou - 9, suiTant que q est positif ou négatif.

ÉQUATION DU TUOiSIÈME DEGRÉ. 965

L*arc a étant connu, on aura, pour valeurs des trois racines :

*,= 2\/-^.sin-.^0-

». Autre méthode. — Le binôme 4p' -t- 27}* étant supposé négatif, écrivons ainsi la formule (15) :

x=%7 U\/^-iL;»/:rï

Soient (tM) :

pcosy 1, psiny . ^ ^ gy

et, par conséquent :

s = -i-\/ — — » co85; = » sin» = H (20)

Le théorème de Moivre (9 tu) donne, comme première valeur de x :

x, = 2V/p"cos|. (21)

9 et 6^ représentant toujours les racines cubiques , imagi-

O Od peut vérifier que ces valeurs satisfont aux relations :

ALGÈBhE.

^ * 'té (9^)> '^^ ^^"^ autres valeurs de x soni

Mais, comme il est aisé de le vérifier :

^Bss cos — - -+- K — i sin — > r = cos l/^ — 1 sin — ;

donc (•19)

Xt = 2 1^ p cos — - — ^> X, = 2 v^ p cos

= 2Kpcos — — -^» x, = 2V/f-" '^

S40. Applications. — I. Soit Téquation

La seconde formule (18) devient

sina = — W -^ •

2 y Ui/

Le calcul prend ensuite la disposition suivante :

logo = 0,477 421 3hlogil = 1,612 785 9 —

log— = 2,86 i 337 4 -♦-

log sin a = r,583 540 7 a = 22»42'll",7.

ymm^

Il il

( Ito

tt lio

KO l>

Il II

naires, de Tunitë (S94I), les deux autres valeurs de x sont données par les formules :

^«=*^P (cos|-4-V/=Tsin^)«-4-(cos^~l/3rsin^)«M,

x,=l^7Ncos^ H.l/ZTsm|) e«^ (cosI~»/rïs^

Mais, comme il est aisé de le vériBer :

e «s ces — - -I- V — i sm — > 6* = ces K — I sin — :

donc (ti9)

x,= 2V^pcos — ;r^y X8 = 2Kpcos 22

S40. Applications. — I. Soit Téquation

La seconde formule (1 8) devient