II. x*— 7x
Eli opérant comme dans le premier exemple, on trouve, successivement,
sin a = - \/— , a = 79»6'24",0, 2 V 7
et enfin
L'emploi de la seconde méthode donne
log 7' = 2,535 294 i -♦- log 27 = 1 ,451 563 8 -♦-
log 5* == 1 ,431 363 8 — log 7 = 0,845 098 0 —
log 2 = 0,301 030 0 —
log (— cos ^) =1,992 102 9
On a ensuite :
X, = 2 Vl cos 56-22' 8" = i ,692 020,
X, == — 2 V/- cos 3»37'52" =» — 3,048 91 6, ^ 3
X, = 2 y - cos 63»37'52" = i ,356 896 ;
comme précédemment.
Mi. Dans le cas où Féquation (1) a une seule racine réelle, on peut aisément calculer, par logarithmes, les valeurs de Rf , R2 (MMU) :
1"* p étant positify on prend
VW
tge = ;
et Ion a
mV sin'ie .'/ cos'Jo
R, = \/g î-, R,^ Wq L-.
^ * cos» ^ cose
2" p étant négatifs on pose
sm f
>aleur d*où résultent
R.^ V^sin^^' R. = -\/<ïco8«-yn.
n On peut aller plus loin, et rendre calculables, par logarithmes, Ri4-Rt, (Rt— R,)l^3; mais les transformations que Ton est obligé de faire subir aux formules ci-dessus nous semblent peu utiles.
S4S. Application, x* — Sx — 5 == 0.
'"^^"^^Vlif' ï^»=V 5«'"'^?> R,=\/
5cos'-?.
log 2 = 0,30i 030 0 ^ log 3 = 0,477 421 2 —
log 2 log»
4,823 908 8 ÎJèi i 954 4
log (— sin f) = i ,337 923 2.
-y = 96Mn6",6-
logsin-,) = i,997 379 4
X 2=1,994 758 8 log 5 = 0,698 970 0
- = logR| = 0,231242 9
logf — cos-fj = r,039 5i40
X 2 = 2,0790280 + log 5 = 0,698 9700 +
-= log R, = 4,592 6660
Ëqiia(l«B du quatrième de^ré.
S48. Pour résoudre Téquation
X*-*- Ax* H- Bx-*-C = 0,
i coefficients réels , posons
X* -4- A«' -♦- Bx -♦- C = (x* H- px -♦- ç) (x' — px -¥• q') :
nous devrons trouver, pour les inconnues p, 9, q\ au mains un système de valeurs réelles (tSI^).
En égalant les coeiBcients des mêmes puissances de x, dans les deux membres, nous obtenons
B y' + 9 = A-^p', g'— ç = -, qq' = C;
puis, en éliminant q et q\
(A + pT-~=4C. (2)
Soit
lequation (9) devient
z» — Az* — iCz - (B* — 4AC) = 0. (4)
Cette équation auxiliaire, du troisième degré, est ce que Ion appelle la réduite de la proposée.
S44. D*après la relation (3), l'équation (4) a au moins une racine plus grande que A (^). Si Ion désigne par y cette racine , on trouve
SM. Application. — Soit
La réduite est
z»^«^60jz — 124 = 0.
Celle-ci donne 7= 2. Donc, par les formules (5) :
(*) Ed géoéral, elle en a on nombre impair.
et enfin
S4«. Remarque, — Lorsque la réduite (4) a trois racines réelles, plus grandes que A, la proposée (1) a toutes ses racines réelles. Mais alors la formule de Cardan devient illusoire (SS9); et les valeurs de/>, g, q' ne peuvent être exprimées, sous forme réelle, en fonction des coefficients A, B, G. II en est de même si la réduite a ses racines réelles, mais non supérieures, toutes trois, à A. C'est donc seulement quand Téquation (4) a une seule racine réelle que la formule de Cardan peut être appliquée utilement à la résolution de Téquation (1). Ce cas est celui où les coefficients A, B, C satisfont à la condition
