CHAPITRE XXIV
S9ft. Les procédés employés pour calculer les racines incommensurables d'une équation /"(x) = 0„ que nous avons fait connaître dans le Chapitre précédent, s'appuieni tous sur la continuité de la fonction entière f(x). Ils sont donc applicables 9 à peu près sans modiCcations, à la résolution de toute équation de la forme /'(x)=0, dont le premier membre, sans être algébrique, est une fonctioR continue de X, sinon pour toutes les valeurs de cette variable, au moins dans un certain intervalle. Cependant, la discussion des fonctions transcendantes étant ordinairement asseï épineuse, les méthodes indiquées ci-dessus seront presque toujours insufBsantes , prises séparément, en sorte que Ton sera obligé de faire des emprunts à chacune d'elles. Les exemples suivants montreront suffisamment la marche à suivre dans chaque cas particulier.
• Exemple I. — Résoudre Féquation (*)
On simpIiQera le problème si\ après avoir pris les logarithmes népériens des deux membres , on met Féquation
sous la forme
En effet , en représentant par y le premier membre de la nouvelle équation , on reconnaît immédiatement que : 1* La fonction y reste continue et croissante à partir de
2^ Cette fonction, négative pour xs=l + e, est positive pour X SB 2.
Par conséquent, Téquation (2) a une seule racine positive, comprise entre 1 et 2.
S99. Pour en approcher, donnons à x les valeurs i ,i et 1^2; nous trouvons :
pour x = i,l, y = 2,2 — 121 = — 0,8U 522 457...; pour x = i,% y=2,4 — lH = -*- 0,002104727....
La racine est donc comprise entre les deux nombres substitués, et beaucoup plus près du second que du premier. D'ailleurs,
^ X-hi X — i X»— I ^ (X* — 1)»
n Elle se rencontre dans la théorie de la chaînette et dans la Mécanique céNie (Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. XL II, p. 1 184). {**) Suivant Tusage, la lettre c désigne une quanlilé posilîTC très-petite.
et chacune de ces fonctions conservant son signe à partir de x=i-htf la méthode de Newton est applicable (tM). Faisant a=1^2 dans la formule
on a
Ce résultat permet de supposer que la racine est comprise entre 1,199 67 et 1,199 68. Effectivement,
conduit à
âl9 9fi7 y = 2,399 34 — log — — — x 1 . 10 H = — 0,000 106 788;
x= 1,199 68 donne
219 968 y = 2,599 36 - log -— — X 1 MO = -f- 0,000 008 999.
Une nouvelle application de la formule de Newton montre que la racine est comprise entre 1 ,199 678 et 1,199 679. La substitution de ces valeurs donne ensuite :
pour x = 1,199 678,
2 1 99 678 y = 2,399 356~log-——— 1.10 = — 0,0000044...;
pour x== 1,199 679,
2 1 99 679 y = 2,599 358 — log | . 10 = -h 0,000 002 2 ...
(*) La limite 1,2 étant. d^'à fort approchée, doos ne suivons pas ^ règle qui consiste à choisir la limite pour laquelle f{x) et /"' {s) sont de même signe.
{**) Les Tables de Callei ne contenant pas les logarithmes népériens d<!$ nombi*es supérieurs à 1 200, il est nécessaire , pour continuer le calcul, d'employer comme intermédiaires les logarithmes de Briggs.
S99. Si nous appliquons dctuellement les formules (2) et (3) du n"" S9S, en supposant
nous aurons :
log r(a) = - log- ^f = 0,816 470 2;
puis :
et enfin , avec huit décimales exactes ,
S9S. Exemple II. — Déterminer le coefficient a, de manière que l'éqiMtion
c* -♦- e~* — ax = 0 (3)
ait deux racines égales.
On dit quune équation transcetidante {(\)==sO a deux racines égales à ol, quand la quantité a annule, en même temps, f (x) et f ' (x) (*).
Gela posé, la dérivée du premier membre de Téquation
(3) est
Egalant cette quantité à zéro, nous aurons à déterminer a par la condition que Téquation
ait une racine commune avec la proposée (3).
(*) U est évident que la définition des racines égales, fondée sur la considération du plus grand commun diviseur, n'est pas applicable, en géoéral , aux équations transcendantes.
L'éiimination de a donne
ou
Cette équation est précisément celle que nous avons considérée dans TExempIe I : elle a pour racine
Il resterait donc à substituer cette valeur dans la formule
Cl =s e* — e"*;
mais il est plus commode de prendre celle-ci :
que Ton tire aisément des équations (3) et (4). Elle donne, au moyen des Tables logarithmiques ,
•••• Remarque. — Tant que le coefficient a est supérieur à cette dernière valeur, Téquation (3) a deux racines positives inégales; elle n*en a aucune dans le cas contraire f). Par exemple, Téquation
n a pas de racines réelles.
(*) Plus la valeur de x est grande, plus y est petit, pour une ménie valeur Je x.
• Exemple IIL — Résoudre l'équation
u — e sin tt = î;, (7)
6/1 supposant
La résolution de Téquation (7) constitue ce qu'on appelle, en Astronomie» le Problème de Kepler : e est VexcentricUé d'une planète; u, V anomalie excentrique; ^, le moyen moutetnent.
Avant de chercher la valeur de u» observons que, e étant un nombre , on devrait, pour rendre Téquation homogène, exprimer Tare ^ en parties du rayon 1 ; alors Tare u serait également exprimé en parties du rayon. Mais il est plus simple d'évaluer, en parties de la circonférence, Tare z dont le rapport au rayon est la fraction e. Or, Tare équivalent au rayon a pour valeur
donc
89t. Pour calculer la valeur deti, nous emploierons dabord la méthode des approximations successives, dont on a déjà vu un exemple (••).
Négligeant le terme e sîn u, ou plutôt z sin u, nous aurons
(lette valeur, substituée dans (7), conduit à
1*1 = z sin Uq h- Ç.
Celle-ci donne, de la même manière.
puis t/f =: 2 sin ti« + ^
etc.
Le calcul logarithmique donne ensuite :
logz = i,l47 848 8 Iog(-sintio)=logsin3a»15'32",34 = ?,702 352 3
0,830 201 3 z sin tio = — 7%082 74 = — 7«4'5",864 ti, = 322-40'2i",80
logz = i,U7 848 8 log(-8in«,)=rlogsin37M9'38",2 = r,782 735 6
0,930 584 4 z sin W| = — 8«522 83 = — 8«3!'22",188 t/,= 32iM3'5'>7
log 2=1,147 848 8 log(-sinw,)=logsin38«46'54",53 =7,796 821 5
0,944 670 3 « sin ti, = — 8%803 80 = — 8*48'13",68
]ogz = l,147 848 8 log(-sinti8)slogsin 39' 3'46",02 = T,799 458 8
0,947 307 6 z sin «3 = — 8^857 43 = — 8»5ri8",75 i#^ = 320-53'8",9l.
\. Pour continuer le calcul , nous ferons usage de la méthode de Newton, en prenant
' ÉQUATIONS TRAFISGENDANTES. 311
iXous aurons, de cette manière :
f{ai) = a — zsina — Ç =
320*53' H- 8«52'3",68 — 529H4'27",66 == 36"02, /•'(a) = i — e ces a n = i — 0,190 332 = 0,809 668;
La valeur de la racine cherchée est donc, à moins de 0",01 ,
ti = 320'>52'i5'',52.
S94. Exemple IV, — Résoudre Véquation (**)
?-^2(7r— ^)sin«-5P — siny = ^. (8)
On peut la simplifier en posant tt — (p==x, et remplaçant 2 sin* \ (p par \ — cos cp = 1 -h cos x. On obtient ainsi
TT
sm a; — x cos x = 0. (9)
Si Ton représente par y le premier membre de cette nouvelle équation, on a
y' = x sîn X.
Par conséquent, la fonction y a une infinité de maximums et de minimums, déterminés parsinx = 0, ou x=^kn^
(*) La dérivée étant un rapport, z doit être remplacé par e. Du reste, si i'oD fiût oc ss L-. ti, et que 1*od calcule ^ , on arrive à la même valeur de h.
(**) Elle répond à ce problème : Partager un cercle en deux parties équivcUentes, au moyen éTune circonférence ayant son centre sur la circonférence donnée.
k étant un entier quelconque, positif» négatif ou séro. D'ailleurs, pour
Il résulte, de Finspection de ce tableau, que Téqualion (9) a une infinité de racines réelles, comprises, chacune, entre deux multiples consécutifs de ït : il y a exception pour les valeurs — ic et 0, qui ne comprennent aucune racine (*). Nous nous occuperons seulement du calcul de la plus petite racine positive (**).
S9ft. Après quelques tâtonnements, on trouve que cette racine est comprise entre H ?( et {| tt. Pour ces deux valeurs de X, y égale —0,282 915 et -»- 0,025 529. Donc la racine diffère très-peu de {{ ti. Appliquant, à cette seconde limite, la correction de Newton , on a
fia) 0,02» S29 * = —• 4^ = r-^ : r= — 0,014 15^.
rw
— ïT sm I — ir 1 18 \i8 /
D'ailleurs, l^ffas 1,919 86; de sorte que la valeur corrigée est 1^919 86 — 0,01415 = 1,905 71. Substituant dans le premier membre de Féquation (9), on trouve y»» 0,000 019.
La formule de Newton, appliquée une seconde fois, donne
puis
{*) La courbe dont l'ordoonée est y se compose d*aDe seule branche coDtinue, sinueuse, indéfinie, rencontraot Taxe des abscisses eo une infinité de points; etc.
(**) Elle répond au problème de géométrie.
ÉQUATIONS TnANSCENDAMTES. 313
Cette dernière fraction est si petite, qu'il est inutile de pousser plus loin les calculs, et que Ton peut prendre, pour la solution cherchée»
x = 1,90S70 = i09Ml'i8".
Par suite,
à moins d'une seconde.
S9#« Exemple Y. — Discuter et résoudre
f(x) = igx — x=^0. (iO)
1^ L'équation (10) résulte de Télinfunation de y entre
y = x, y = tgx. (H)
De ces deux équations, la première représente une droite, bissectrice de Tangle des axes; et la seconde, une courbe composée d'une infinité de brancfies infinies, égales entre elles, ayant pour asymptotes les droites déterminées por x=dbÇ, x=db^, aî = db^, ... : les abscisses des points communs à la courbe et à la droite, sont les racines de la proposée (10). La droite coupe chacune des branches de la courbe; donc l'équation (10) a ufie infinité de racines réelles,
i* La droite et la courbe passent à l'origine; donc zéro est une racine. Il est facile de voir, soit au moyen d'une figure, soit en calculant f(x) et f'ix)^ que cette racine nulle est triple. Nous en ferons abstraction.
3^ L'origine est un centre de la droite et de la courbe : conséquemment, les points d'intersection de ces lignes sont, deux à deux, symétriques par rapport à ce centre commun. Autrement dit, les racines de l'équation (10) sont, deux à deux, égales et de signes contraires. Ce résultat, évident à l'inspection de Téquation, rend inutile la recherche des racines négatives.
4* La plus petite racine positive est comprise entre tt et ^; la deuonème racine est comprise entre Stt et y; ^tc. En général, la nf^ racine positive est comprise entrent et (iîLtîH. En outre, à me$ure que n augmente , la différence (8n.^t)y — ^ diminue indéfiniment.
S99. Calcul d'une racine. — La méthode des approiimations successives s applique aisément «ici , après quon a fait subir, à Téquation (10), une transformation remarquable.
Soit z la différence entre (2n -«- 1) j et x :
x = {3tn -^ i) z.
De là résulte
tgx = cotz;
ou, h cause de Téquation donnée :
Donc
x = coiz, — = tgz, z = arctg —
x = {^n -^ i)- — arctg-- (12)
Considérons en particulier la n'*~ racine, qui diffère trèspeu de (2n -h 1) j = a. Nous pouvons prendre, comme première approximation, ac = o s= x^ ; après quoi l'équation (12) donne, successivement,
x,=3a — arctg— > Xi=a — arctg—» Xi = a — arctg— , etc.
X| x« Xs
Soit, par exemple, n = 5; alors
x,=a=— TT, x,=— ir— arctg— , X5=—7r— arctg-,-
ÉQUATIONS TRAIiSGEriDÂNTES.
Voici la disposition du calcul :
log 2 = 0,301 050 0 -tlogli= 1,041 592 7 — log ir= 0,497149 9 —
2,762 487 4 arocoiTe8p.= 3M8'44"
0,057 809 2 7r= 3,141592 65 5ir= 15,707 963 2 -^
a = — ir = 17,278 759 3 -4-
0,057 809 2 — x, = 17,220 950 3 On aurait ensuite
Iogx,= 1,236 057 2 iogl.= 2,763 942 8
arc corresp. =
XzlOg ^5 '
logl= 2,763 957 7
Xz
arc corresp.
La comparaison de cette valeur avec celle de x^ donne 9 à moins d^une unité du sixième ordre »
On obtiendrait une approximation plus grande si Ton ap* pliquait» à cette dernière valeur, la méthode de Newton. SM. Exemple VI. — Discuter l'éqtuiîion
f[x) = ax — 6 — sin X = 0, (15)
^ supposant
Les valeurs extrêmes de sin x étant db 1 , on doit a?oir
Soit, s*il est possible,
ces arcs étant compris entre les limites ^^» ^^. Il en résulte
/•(x)=ax — 6 — i, /'(x)==ax — 5-f-i, /'(x)=ttx— 6— I;
ou, par les inégalités (li) :
/•(x)<o, AW>o, AW<o.
De plus, pour ces mêmes valeurs de x , la dérivée
/''(x) = tt — cosx
se réduit à a. Elle ne peut s*annuler plus de deux fois dans Tintervalle compris entre 2fet -+- f et 2ibt 4- ^ (*), ou enlrc 2*7r -f- — et 2 (* 4- 1 ) ic -4- j ; donc, dans le même intervalle, f(x) s annule une fois (•99). Ainsi : entre deux multiples impairs et consécutifs de ~, il y a une racine de k proposée, pourvu que ces multiples soient compris entre -p
•••• D'après cela , soient
6 — 1 .TT 6-4-1 ., ir
t, f étant des tfnft«r« impairs, positifs ou négatifi, et R) R' étant des arcs positifs, moindres que n. Si Ton fait
Xc=3(l + 2)-> x = (t -4- 4)— > —M x = t--» ^ 2 2
(*) f (œ) ne s'annale pas dans le premier intervalle.
ÉQUATIONS TBANSGENDANTES. 517
le Dorobre n des racines séparées est inférieur, d*une unité, à celui de ces valeurs de x; c*est-à«dire que
Ce n'esl pas tout : il peut y avoir une racine entre ^^
et (i -4- 2) ^; il peut y en avoir une autre entre t'^ et ^~^; donc le nombre N des racines de Téquation (13) est donné par une des trois formules :
ti=
Application :
lOOOfr
Les limites ^-^» ^^ deviennent, respectivement, — 9S(hr, + 1 OSOtt. Divisant ces quantités par f , on a
Enu^et:!!!^ 9507t et (i-h 2)f = — 1 899^, il
n'y a aucune racine ; car ces deux valeurs de x donnent A(«)<0. De même, il n'y a pas de racine entre i-^=2 099 j et ^~- = 1 OSO. Le nombre des racines réelles de Téqualion
lOOOir 20
est donc
— smx<«0
MI. Remarque. — On peut remplacer la méthode pré-
51g ALGÈBRE.
cédente par la construction de la droite et de la iinumdt dont les équations seraient
yssax — 6, y = sinx.
Cette construction , si elle est faite avec soin, effectue non-seulement la êéparatian des racines, mais encore le calcul de chacune d'elles.
I. Partager un demi-cercle en deux parties équivalentes, par une parallèle au diamètre.
IL Trouver Tare double de sa corde.
IIL Résoudre
af — iO = 0.
Résultat :
