CHAPITRE XXV

rréllailBalrefl.

4M9. Une fraction ^M est dite raHonnelle, lorsque ses deux termes sont des polynômes entiers. Nous supposerons, dans ce qui va suivre, que la fraction a été réduite à sa plus simple expression, ou que f(x) et F(x) n'ont aucun facteur commun. Nous supposerons, en outre, le degré m du dénominateur supérieur au degré du numérateur. Si le contraire arrivait, on diviserait le numérateur par le dénominateur, et Ion mettrait la fraction sous la forme Q + ^, Q étant un polynôme entier, et ^ une nouvelle fraction satisfaisant à la condition énoncée.

Cas 4es faeteara Iné^aBS*

^•S. Si Ton connaît les facteurs x — a, x — 6, x — c, ..., X — kf X — / de F (x), ces facteurs étant d'abord supposés inégaux, on peut se proposer de décomposer ^ en une somme de fractions simples, ayant pour numérateurs des constantes A, B, C, ..., K, L, et pour dénominateurs x— a> X — 6, X — c, ..., X — k, X — / (*); de manière à avoir, çwe/ f/ue soit X,

f{x) A B KL,

(*) Pour jusiiAer celte tentative de décomposition, il suffit d*obsenrfr (luc la somme de m fractions—^' —^ « — i -^, est une fractioo latioD-

FKACTIONS UATfONNELLES. 321

La question consiste à déterminer, sll est possible, les numérateurs A, B, ..., L.

404. Première méthode. — Si Ton multiplie les deux membres de Tégalilé (1) par le dénominateur F(x), le second membre devient un polynôme entier, du degré m — 1, contenant les inconnues A, B, C, ... K, L au premier degréy et que Ton peut ordonner par rapport à x. D'ailleurs, le polynôme f(x) est, au plus, du degré m — 1. Si donc, pour identifier les deux membres de la nouvelle égalité, on égale les coefficients des mômes puissances de oc, on aura m éqiuitions du premier degré, entre m inconnues,