PP

MM' y i-^ y"

Ainsi, la limite du rapport entre PP' et MM' est tint qiuintité finie, différente de zéro; ce qu'il fallait démontrer (*).

{*) Cesi seolement pour des points particuliers que les dérivées X', Y', y* deviendraient inOnies ou nulles.

Pl.

nk n"

!•• Problème I. — Tr(mver la tangente en un point P

du lieu des projections d'un point donné y 0, «tir les tangentes à une courbe donnée AB.

(Ce lieu est ce qiron appelle la podaire de ÂB, relalivement au pôle 0) (*).

^ La tangente en P est la li-

mite de la sécante PP'. Mais, d après le Théorème VI, on peut remplacer le point P' par un autre point dont la distance à F soit infiniment petite, relativement à PP' ou h MM' (Th. VII). A cet effet, menons Mp parallèle à MT' : pP'=M9 est infiniment petit par rapport à MM' et PP' (ts). Or, les points P, p sont situés sur la circonférence qui aurait MO pour diamètre; donc la tangente cherchée se confond avec la tangente à cette circonférence. De là, cette propriété remarquable : la normale en P, à la podaire j passe au milieu N de MO.

tV. Problême II. — Trouver la tangente au point P du

lieu décrit par le sommet d'un angle MPN, circonscrit à une courbe AB.

En menant Mp parallèle à MP', Np parallèle à N'P', on pourra substituer le point p au point P'. Donc la tangente en P, limite commune de PP' et de Pp, se confond avec la tangente à la circonférence circonscrite au triangle MNP.

(*) RéciproquemcDt, ÂB est Vanti-podaire de Fautre courbe.

19* Problème III. —

Construire la tangente TMT' en un point M d'une ellipse AB, dont le$ £1 foyers sont F, F'.

Menons la sécante MM'S, puis les rayons vecleurs FM, FM', F M, F M'.

Par la définition de rdlipse,

FM -4- FM = FM' -t- FM',