Théorème VI. — Dans la recherche de la tangente, on

peut remplacer le second point E M' d'intersection de la sécante MM', par un point m non situé sur la courbe, mais dont ta distance à M 'soil infiniment petite par rapport à MM'.

JVl'

On a

mW .

sin M = TTTTTsm m; MM

et, d après Thypothèse, lim SS^= 0; donc

lim sin M = 0.

(*) Élémenfs de Géométrie, 2« édit., pp. 169 et suivantes.

346 CALCUL DIFFÉRCNTIEL.

Ainsi, à la limite, les directions Mm, MM' coîncidenl : chacune d'elles se confond avec la direction de la tangente en M.

15. Théorème VII. — Si une courbe C est déduite d'une courbe C, de manière qnà chaque point M de celle-ci corresponde un point P de la première; la distance entre deux points M, M' de C, et la distance entre les points corrtipondants de C, sont du même ordre.

Soient x, j/, X, Y les coordonnées des points M, P: y, X, Y sont des fonctions de x. Les coordonnées de M' sont ac -I- Ax, y H- Ay ; et les coordonnées de M' : X4-AX, Y-hAy.

De plus, les axes étant supposés rectangulaires :

MM' = ( Ax)« -4- {mj)\ PP' = (aX)' -f- (A Y)».

D'après des formules connues (Alc, !••) :

Ay = Ax(y'-*- f), AX=Ax(X'-*-fi), aY= Ax(Y' + ft);

y' y X', Y' désignant des dérivées, et e, e|, £3 des inflnimeni petits.

On conclut, de ces diverses valeurs,

/pp;y__fx^H-f,)« + (r + FO\

\MM7 i H- (y'* -H f)' '

puis