dfdu dfih df df ^^ dudt dv dt du dv

du* dudv rfv*

^ ' du" 1 c/m— 'rfv dv"

2* Les fonctions /"(ar, ?/), /"(m, r) ne différant que par un changement de leUres, il en est de même pour les dérivées de la première, comparées à celles de la seconde.

Mais il y a plus : lorsque /=0, les variables auxiliaires ti, V se réduisent, Tune à x, Tautre à y. Donc, pot«r f=0,.

dfivyv) df(x,y) du dx

(*) 11 est bien entendu que, dans toutes ces formules, la lettre/' désigne f{u, v).

413 C4LGUL DIFFÉRENTIEL.

«t, en conséquence :

3* D*après les remarques précédentes, on peut, au moyen de /"(x, y), former

^ ^ ^ dx-+* 1 (fx"dy dj^

pourvu que, dans le résultat, on remplace x et y, respecHtwment, par x -f- 9ih «^ y -^ Gik.

i"* Substituant ces diverses valeurs dans Téquation (1), et faisant /=!, comme il a été dit, on a donc, finalement:

M2\ rfx* dxdy dyV |

i.2.5...n\ dx" d^"/

i.2.3...n(n^1)\ dx-^« dy^/ ^ '

la seconde formule suppose que x el y <mt été remfia^j respectivement, par x -4- 6h , y + 6k.

(*) Dans ces nouvelles formules, / représente f(x, y).

ns. Remarque. — A cause de la. complication de la formule (3), on Técrit quelquefois sous cette forme symbolique :

i.2...n \ ax dyj

Pour appliquer cette nouvelle formule, on développe les puissances du binôme A^ + A:^, et Ton remplace, dans chaque terme du développement.

\dxl ^ dx»' \dxl

par— , etc.

••. On trouve, de la même manière,

\,^l\ dx

dx

dy

i Ldf ,df ,rfA-+»

i.2.3...(in-i)\ dx dy dzJ \

dans le dernier terme, x, y, z doivent être remplacés, à la fin du calcul, par x -♦- 9A, j^ -h 6A:,.z4- 6/. Si, par exemple, n = 2 :

/ df df df\ f(x^h,y^k,z^l) = f{x,y,z)^[h--^k~-^l~j

axay J

41 i CALCUL DIFFÉRENTIEL.

•7. Soil

f(^^ y) = Hxy u) ='^^ -^^y-

On a

r/x X t/^ y ilx' dxdy

Si ion suppose n=^i dans les formules (S), (3), on trouve

l[x^/0 x^*)J = l(xt/K--^-- --h-^- '- -^ X y :i \x y'/

Ce résullat est exact; car

I[(x -h li)(y ^ A)] = l (x + A) H- l(y -h *),

I (x -+- /t) ^ I jr -H - — - -- -H ,