X -+- y = a, h -i- k = p; alors

sin (a -h p) = sîii a -+- 6 cos a p* sin (a -♦- 6^);

ce qui est eonfornie h la formule de Taylor (?•).

Propriétés dei» ffonctloim liouioffèiies.

99. Par extension de ee qui a lieu pour les polynômes enliers , on dit que f(x, y,z, ...) est homogène, si

f{xx, ly, iz , ...) = i7"(x, y, z, ...) : (6)

m est le degré d'homogénéité.

D'après eelte définition, |ï^i est une fonction homogène, du premier degré; de même, sinï-hlx — ly est homogène, du degré zéro; etc.

u Cela posé, soit 1= 1 -ha : Fégâliié (6) se change en

l\x -h ax, y -f- fy, r H- a:, ...) =^ (I -h a)'"/ (x, y, z, ...). (7)

Le premier membre, développé suivant les puissances el les produits des accroisseinents «or, a?/, oz, ... devient

a (df iif df

a- /(//• *//• df \*

].2\e/x f/y^ dz I

Identifiant cette série avec (1 -h cCffix^ y, jj, ...), on trouve :

df df df Tx'^^Ty'^-^dz'^"'^''^^''^'''"''' (^^

Idf df df y

(df df df V

De ces relations (*), la première et la plus importante constitue le Théorème des fonctions homogènes, que Ton peut énoncer ainsi :

La somme des dérivées partielles d'une fonction homogène, respectivement multipliées par la variable correspon- ' dante, égale le produit de la fonction par son degré.

lOt. Application. — Soit

' {y-^zf (zH-x)» (x-^yf Les valeurs des dérivées partielles sont :

i 2y 2jg

(x -^ yY ~" (y -+- zY "" (z H- X)' "

Multipliant par x, y, z, et faisant la somme des produits , on trouve

df df df X y z

'^di'^^'d^'^^Jz^''J^^''l^£f^^

conformément au théorème.

(*) On ne doit pas oublier que les premiers membres des égaillés (9), (iO), ... sont écrits sous forme symbolique, et quMIs doivent être développés.

!•)•• Autre application. — Soit une équation

dans laquelle le premier membre est un polynôme entier, de degré m , mais non homogène. Décomposons-le en parties homogènes, dont les degrés soient m^ m — 1, ... 0; de manière que

F (x, y, z, ...) = U„ -4- U«., -4- .-. -4- U| -f- Uo.

Nous aurons, par le théorème précédent,

dF dF

^ dx "^^d — H... = mU,«-*- (m — i)U«, H h U,; (i2)

ou bien, en retranchant du second membre la quantité

nulle

m (U„ H- U«i H h U| -^ Uo) : .

dF dF X — -+-y^-f-..-=: — U«, — 2U., iwU. (15)

Cette formule est utile dans la Théorie des tangentes.