II. Soit 6 le point diamétralement opposé à M. A cause

AC = arc CEM , Al = arc MC6 , CI = arc CG.

de Ton a

Ainsi, pendant que M décrit la cycloide AMB, le point G décrit une cycloîde égale, dont I est Torigine, et F le sommet.

III. Pour diviser, en n parties égales, l'arc MB, t7 suffit de diviser, en n parties égales, la corde BH; de tracer les arcs DE, D'E', ...; puis les droites EF, ET', ... parallèles

à la base AA'.

ïL.^^^:^^ — IV. Si HKH' est

^ un diamètre de la

circonférence SI, Ton a

arcBM = 2BH, arcBM'==âBH';

GYCLOÏDE ET ÉPICYCLOÏDES.

ei, par conséquent ,

(arc BM)« ^. (arc BM')' = i 60* (*).

9Se. Rayon de courbure. — Prenant toujours 6 pour variable indépendante , on trouve

puis

cPx = a sin edB\ dfy=^a ces ede';

dxcPy ■— dycPx = a' [{} — cos e) cos fi — sin* «1 do»

= — 2a' sin" :- 6 . de*.

donc

Et comme

ds' = 4a* sin* - fid«*; la formule

p = devient

dxd^y — dyd^x

ps=4asin-6. (iO)

MC = 2asm-e; p = 2Ma

Par conséquent, fe centre du cercle osculateur est le point M'y symétrique de M y relativement au point de contact C. En particulier, le centre de courbure, pour le sommet B, est le point B^ symétrique de B relativement à la base Ax de la cycloide.

(*) Cett« remarque est due à M. Mennesson , Capitaine d^artillerie.

9M1. Développée. — La développée^ c'est-à-dire le lieu des points M', est une q/cloîde égale à la première (*).

Les points M, M' étant symétriques relativement au point Ç 9 l*on a

arc D'M' = arc DM = arc CG.

Donc, si Ton fait glisser, parallèlement à FF', la partie supérieure de la figure, la cycloïde IF, lieu du point G, viendra coïncider avec le lieu du point M : ce lieu est donc une cycloïde égale aux deux autres.

9S9. Définition. — Si la circonférence 0' roule mr la

circonférence fixe O, tin point quelconque M de la première décrit une courbe appelée éph GYCLOÎDB (**)•

999. Équations de la omrbe. — La position initiale A de M est déterminée par la condition arc CM = arc CA, ou R« = RV. (H)

Si Ton prend le centre C pour origine, et la droite OA pour axe des abscisses, les équations du point M sont

X = (R -4- R') cos a — R' cos (a ^ «'), (42)

y = (R H- R') sin « — R' sin (a + «'). (43)

{*) Le pendule cycloidal, que l*on voit dans qaelqaes cabinets de Physique, est fondé sur cette propriété.

(**) Qadques auteurs emploient les dénominaUons d*épicyclMB et ^hypocyclMe, en réservant celle-ci au cas oti la circonférence mobile est intérieure k la circonférence fixe. C*est ce que nous avons Dut, noi»méme, à propos de Venveloppe (f une droite glissant entre les côtés (f tm angle droit {9%9),

GYGLOÏDE ET ÉPICYGLOÏDES. 605

II restera donc, dans chaque cas particulier, a éliminer a et a' : cette élimination, presque toujours^ difficile, est souvent impossible.

9â,%. Remarques. — I. Si Ton représente par m le rapport des rayons R, R', on peut, aux formules précédentes, substituer

X = R' [(m -4- i ) cos a — cos (m -4- i) a], (14)

y = R' [(m -♦- i) sin a — sin (m -f- 1) a]. {15)

Celles-ci permettent de discuter la courbe. II. Quand le cercle 0' roule à Fintérieur du cercle 0, les formules (12), (13) doivent être ainsi modifiées :

X = (R — R') cos a 4- R' cos («' — a), (16)

y == (R — R') sin a — R' sîn (a' — «); . (.17)

et les formules (14), (15) :

X = R' [(m — 1) cos a -♦- cos (m — 1) «], (18)

y == R' pm — 1 ) sin a — siii (m — 1 ) «]. (1 9)

94t. L Si ii?=»l, il est visible que répicycloidc est semblable à la podaire du point A, relativement au cercle 0 (15). Cette podaire est appelée : Limaçon de Pascal.

Dans ce cas très-simple, les équations (14), (15) deviennent

X = R (2 cos a — cos 2a), y = R (S sin a — sin 2«).

Transportant Torigine en A , on trouve , au lieu de ces valeurs :

X = 2R cos a (i — cos a), y = 2R sin « (1 — cos «).

Il résulte y de celles^^i, que Téquation de la courbe, en coordonnées polaires , est

tt = 2R(l — cos»);

résultat évident à Tinspection de la figure.

949. Hypacycloide à quatre rebroussements. — Dans les formules (18), (19), supposons fiie=4 : elles deviennent

x = 'R!{Z cos a H- cos 3«), y = R'(3 sin a — sin 3a); X sa R cos'a, y = R sîn'tt.

L'équation de répicycloîde est donc

Ainsi y quand une circonférence dont le rayon est ^, rouk à l'intérieur d'une circonférence dont le rayon est R, répicycknde engendrée par un point de la première ligne coïncide avec l'enveloppe d'une droite égale à R , dont les exdémités glissent sur les côtés d'un angle droit (9MU).

94S. Êpicycloxde rectiligne. — Si Ton suppose m «=3,

réquation (19) se réduite

Conséquemmenty le Utu du point M est le diamètre AB du cercle fixe.

Cette propriété curieuse (*), à peu près évidente par la figure, est appliquée dans certains engrenages.

{*) On raitribue à Cardan.

GYGLOÏDE ET ÉPICYGLOÎDES. 507

Rccllllcatloii de* épleyeloldes*

t44. On tire, des formules (14), (15) :

dx = (m -î- 1) R' [ — sin a -*- sin (m -♦- 1) a] da, ^iy = (»n- 1) R' [-+- cos a — cos (m 4- 1) a] dct.

Il résulte y de ces valeurs,

• ut cb = 2 (m + 1) R' sin — ada.

Le^seeond membre est la diSerentielle de

C — 4 R' cos — a.

Par conséquent, si Ton détermine la constante C par la condition que a:=0 donne s=0, on a

m ou , plus simplement ,

R'[i — cos^a];

^ =— 8 R' sm* — a;

ou enfin, à cause de 9nR'=R, maL=^a! i

^ R "*■ R ->. . - ot #v-%

< = 8— - — R'sîn»-. (21)

D'après cette formule, la longueur de Tare complet d'épicycloîde, répondant à a'=27i, est

R Ainsi, toutes les épicycloUdes sont rectifiables.

146. Si le point M» au lieu d^appartenir à la circonférence 0\ est simplement lié à celle-ci, la courbe décrite prend le nom d'épicjcloîde allongée ou accourciej selon que M est extérieur ou intérieur au cercle 0'.

Si Ton conserve les notations employées ci-dessus (9SS), et

que Ton désigne, en outre, par d la distance O'M, on a,

sans nouveaux calculs :

Ra = R'a',

X =s (R + R') COS a — d COS (a -+- a'), y = (R H- R') siOiX — d sin (a -4- a').

Appllcatloiis.

tAS. I. Soient R'=»R, ct<==2R. Les équations (22) deviennent

op = 2R (ces a — cos 2a), y sa 2R (sin a — sin 2«);

et, si Ton transporte lorigine en I, position initiale de M :

a == 2R ( — 1 -4- cos a — cos 2a) = 2R cos a (i — 2 cos a), y as âR sin a (i — 2 cos a).

Il résulte, de ces valeurs, que Téquation de la courbe, en coordonnées polaires, est

tt = 2R(4 — cos»);

ou plutôt, par le changement de u en — u :

Il = 4R cos oa — 2R.

GYGLOÏDE ET ÉPIGYGLOÏDES. 509

Gonséqùemmenty XipUycloxde dont il s*agit en% um concholde du cercle (9é).

II. Supposons, comme au n* 94S9 que la circonférence 0' roule à Tintérieur d'une circonférence double. Nous aurons, au lieu des formules (16) et (17) :

x = (R'-t-d)cosa, y = (R' — «Qsina; et, par Télimination de a :

équation d'une ellipse. Ce résultat est visible à Tinspection de la figure. En effet , le diamètre MN (948) est inscrit à l'angle droit yOx (115).

I. Théorème. — Toute epicyclotde , engendrée par le mouvement d'un cercle C roulant sur un cercle fixe C, peut être engendrée par le mouvement d'un autre cercle C" roulant sur le même cercle fixe C. R, R', R'^ étant les rayons, la somme ou la différence des deux premiers égale le troisième, suivant que l'épicycloïde est intérieure ou extérieure au cercle fixe. (Euler.)

II. Théorème. — La développée d'une epicyclotde est une epicyclotde semblable à la première.